2. 电机数学模型：PMSM 的数学基础与坐标变换

做 FOC 无感控制，第一关就是搞懂电机数学模型。很多人觉得数学推导枯燥，我刚开始也这么想。但后来在项目里吃过亏——参数没算对，观测器直接发散，电机嗡嗡响就是不转。从那以后，我老老实实把模型啃了一遍。

说白了，永磁同步电机的数学模型就是一套描述电压、电流、磁链之间关系的方程。你理解了它，后面的观测器、调参才有根可循。

先看电机长什么样。PMSM 的转子嵌有永磁体，定子有三相绕组。三相电流通进去，产生旋转磁场，拉着转子转。这跟直流电机不一样——没有电刷，靠电子换向。

我习惯把电机简化成三个线圈，空间上相差 120 度。转子永磁体产生一个恒定的磁链，跟定子磁场相互作用。嗯，这里要注意：永磁体的磁链方向是跟着转子走的，所以转子位置直接影响反电动势。

核心概念：PMSM 的数学模型建立在三个假设上——忽略铁芯饱和、忽略涡流和磁滞损耗、永磁体磁链恒定。实际电机当然有偏差，但做控制算法时，这些假设够用了。

三相系统不好算，你想想看，三个变量耦合在一起。Clark 变换就是干这个的——把三相静止坐标系（a, b, c）变成两相静止坐标系（α, β）。

公式很简单：

Iα = Ia
Iβ = (Ia + 2*Ib) / √3

等等，这看起来像只用了两相？实际上第三相是冗余的，Ia + Ib + Ic = 0。所以 Clark 变换本质上是降维。

我在项目中遇到过一个问题：Clark 变换的系数有 2/3 和 √(2/3) 两种版本。前者是等幅值变换，后者是等功率变换。做 FOC 时我习惯用等幅值，因为电流环 PI 参数好调。如果你用等功率，PI 参数得重新算。

变换类型	系数	特点
等幅值变换	2/3	变换后幅值不变，PI 参数直观
等功率变换	√(2/3)	功率守恒，适合功率计算

我的习惯：做无感 FOC 时，统一用等幅值 Clark 变换。这样电流环调试时，给定 1A 就是 1A，不用换算。

Clark 变换完了，电流还是交流量。PI 控制器对交流量有静差，不好使。Park 变换就是来解决这个的——把 αβ 坐标系旋转到跟转子同步的 dq 坐标系。

公式：

Id = Iα * cos(θ) + Iβ * sin(θ)
Iq = -Iα * sin(θ) + Iβ * cos(θ)

θ 是转子电角度。你看，变换后 Id 和 Iq 变成了直流量。Id 控制励磁，Iq 控制转矩。这就是 FOC 的精髓——解耦控制。

我曾经犯过一个低级错误：Park 变换的角度用的是机械角度，结果电流环完全失控。后来查了半天才发现，电角度 = 机械角度 × 极对数。这个坑，我帮你们踩过了。

注意：Park 变换依赖转子位置。无感控制时，位置来自观测器估计。如果观测器不准，Park 变换就偏了，电流环也会跟着偏。这是无感 FOC 的核心难点。

有了 dq 坐标系，电机方程就清爽多了。先看磁链方程：

ψd = Ld * Id + ψf
ψq = Lq * Iq

ψf 是永磁体磁链，常数。Ld 和 Lq 是 dq 轴电感。对于表贴式 PMSM，Ld ≈ Lq；对于内置式，Ld < Lq。

电压方程：

Vd = Rs * Id + Ld * dId/dt - ωe * Lq * Iq
Vq = Rs * Iq + Lq * dIq/dt + ωe * (Ld * Id + ψf)

这里 ωe 是电角速度。你看，方程里有耦合项——ωe * Lq * Iq 和 ωe * (Ld * Id + ψf)。这就是为什么 FOC 要做前馈解耦，不然两个轴互相影响。

我刚开始调电流环时，没加前馈，结果高速时电流震荡。后来加了前馈补偿，稳如老狗。具体做法是把耦合项算出来，加到 PI 输出上。

关键参数：做无感观测器时，你最需要关心的参数是 Rs（定子电阻）、Ld/Lq（电感）、ψf（永磁体磁链）。这三个参数不准，观测器估计的位置就有偏差。

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。从三相物理模型开始，经过 Clark 和 Park 变换，最终得到 dq 轴电压方程。这就是 FOC 的数学基础。

你看，从三相到 dq，每一步都有明确的物理意义。Clark 变换去掉冗余，Park 变换把交流变直流，最后电压方程告诉你该怎么控制。这就是 FOC 的数学骨架。

实战建议：刚开始学的时候，别急着调观测器。先把 Clark 和 Park 变换的代码写一遍，用仿真数据验证。我当年就是先在 MATLAB 里跑通了变换，再移植到 MCU 上，少走了很多弯路。

好了，这一章就到这里。数学模型是基础，后面讲观测器时，你会反复用到这些方程。特别是电压方程里的耦合项和磁链参数，直接决定观测器的收敛速度。记住：模型越准，观测器越稳。