电机基础：直流电机、BLDC 与 PMSM 的结构与数学模型

各位同学，欢迎来到第二章。这一章我们聊聊电机本身。很多做 FOC 的朋友，上来就调 PID，结果电机嗡嗡响就是不转。为什么？说白了，你连控制对象长什么样都没搞清楚。

我个人习惯，搞控制之前，先把电机拆开看看。不是真拆，而是在脑子里把它的物理结构、磁场分布、数学模型过一遍。今天我们就从最基础的直流电机开始，一路讲到永磁同步电机。

直流电机原理：最朴素的“电生磁，磁生力”

直流电机是所有电机的老祖宗。它的结构很简单：定子上有永磁体或励磁绕组，转子上有电枢绕组，中间通过换向器和电刷来切换电流方向。

你想想看，当电流流过转子绕组时，会在磁场中受到安培力。这个力让转子转起来。但转子转半圈后，如果不换向，力就会变成阻力。换向器的作用就是每转半圈，把电流方向反过来，保证力矩始终朝一个方向。

我在项目中遇到过一件事：有个同事用直流电机做位置伺服，怎么调都抖。后来发现他忽略了电刷压降。低速时电刷压降占的比例很大，导致低速力矩非线性。嗯，这里要注意，直流电机的低速性能其实不如无刷电机。

无刷直流电机（BLDC）：把换向器搬到外面

BLDC 把直流电机的机械换向器换成了电子换向器。转子是永磁体，定子是三相绕组。没有电刷，没有火花，寿命长，效率高。

BLDC 的转子磁钢通常贴在转子表面，形成隐极结构。它的反电动势是梯形波，所以控制上常用六步换向法。但六步换向的转矩脉动比较大，这就是为什么后来大家开始用 FOC 来控制 BLDC。

永磁同步电机（PMSM）：正弦波的优雅

PMSM 和 BLDC 结构上很像，都是永磁转子加三相定子。但 PMSM 的反电动势是正弦波，不是梯形波。这意味着它天生适合正弦波驱动，也就是 FOC。

PMSM 有两种转子结构：

类型	结构特点	Ld 与 Lq	应用场景
表面贴装（SPM）	磁钢贴在转子表面	Ld ≈ Lq	低速、高精度伺服
内置式（IPM）	磁钢嵌入转子内部	Ld < Lq	高速、弱磁扩速

IPM 电机因为 d 轴和 q 轴电感不同，会产生磁阻转矩。这个磁阻转矩在高速弱磁区非常有用。我记得第一次做 IPM 的弱磁控制时，发现转速能跑到额定转速的 2 倍，当时还挺惊讶的。

电机数学模型：控制器的“内功心法”

搞 FOC，数学模型是绕不开的。你不需要背公式，但必须理解每个参数的含义。

三相静止坐标系（ABC）下的方程

这是最原始的模型：

V_a = R · i_a + L · di_a/dt + e_a
V_b = R · i_b + L · di_b/dt + e_b
V_c = R · i_c + L · di_c/dt + e_c

其中 e_a、e_b、e_c 是反电动势，它们互差 120 度电角度。这个模型直观，但不好控制。因为三相电流是耦合的，而且随时间变化。

Clark 变换：从 ABC 到 αβ

Clark 变换把三相系统变成两相正交系统。说白了，就是把三个互相依赖的变量，变成两个独立的变量。

i_α = i_a
i_β = (i_a + 2·i_b) / √3

注意，这里用的是等幅值变换。我个人习惯用等幅值，因为电流环的 PI 参数更容易调。等功率变换也可以，但增益系数不同，别搞混了。

Park 变换：从 αβ 到 dq

Park 变换把静止的两相坐标系，旋转到与转子同步的旋转坐标系。这样，交流量就变成了直流量。

i_d = i_α · cos(θ) + i_β · sin(θ)
i_q = -i_α · sin(θ) + i_β · cos(θ)

为什么要这么做？因为直流量可以用 PI 控制器做到无静差跟踪。你想想看，如果直接控制三相正弦电流，PI 控制器永远追不上正弦波，会有稳态误差。

dq 坐标系下的电压方程

这是 FOC 的核心方程：

V_d = R · i_d + L_d · di_d/dt - ω · L_q · i_q
V_q = R · i_q + L_q · di_q/dt + ω · (L_d · i_d + ψ_f)

解释一下：

• R · i 是电阻压降
• L · di/dt 是电感压降
• ω · L · i 是交叉耦合项
• ω · ψ_f 是反电动势项

交叉耦合项是 FOC 解耦控制的关键。如果不做解耦，d 轴电流变化会影响 q 轴电压，反之亦然。解耦的方法很简单：在 V_d 指令中加上 ω · L_q · i_q，在 V_q 指令中减去 ω · L_d · i_d。

转矩方程

对于 SPM 电机（L_d = L_q）：

T_e = 1.5 · p · ψ_f · i_q

对于 IPM 电机（L_d < L_q）：

T_e = 1.5 · p · [ψ_f · i_q + (L_d - L_q) · i_d · i_q]

看到没？IPM 多了一项磁阻转矩。当 i_d 为负时（弱磁），磁阻转矩是正的。这就是为什么 IPM 在高速区还能输出较大转矩的原因。

知识体系总览

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。从物理结构到数学模型，再到控制变换，每一步都有清晰的对应关系。

这张图从左到右展示了三种电机的演进关系，从上到下展示了从物理结构到数学模型的抽象过程。你会发现，BLDC 和 PMSM 在结构上很接近，但数学模型和控制策略完全不同。搞混了的话，代码跑起来电机要么抖，要么啸叫。