2. 基础理论：从电机模型到传递函数

做电机控制这些年，我见过不少工程师上来就调 PID，结果调得满头包。为什么？说白了，你连电机长什么样都不知道，怎么调得好？这一章我们就来把电机模型这层窗户纸捅破。

先看一个最简单的模型。永磁同步电机（PMSM）在 d-q 坐标系下的电压方程，其实就两个式子：

Vd = Rs * Id + Ld * dId/dt - ωe * Lq * Iq
Vq = Rs * Iq + Lq * dIq/dt + ωe * (Ld * Id + ψf)

嗯，这里要注意，ωe 是电角速度，不是机械转速。我刚开始做项目时，就因为这个搞混了，结果电流环怎么调都振荡。后来才发现，电角速度 = 极对数 × 机械角速度，这个换算千万别漏。

转矩方程也很关键：

Te = 1.5 * p * [ψf * Iq + (Ld - Lq) * Id * Iq]

这里有个坑。对于表贴式电机（SPMSM），Ld ≈ Lq，所以磁阻转矩项 (Ld - Lq) * Id * Iq 基本为零。但对于内置式电机（IPMSM），Ld 远小于 Lq，这时候磁阻转矩就很重要了。我在做一款高速主轴电机时，就利用了这个特性，把 Id 设为负值来提升效率。

为什么要搞传递函数？因为我们要设计控制器。你想想看，没有数学模型，你怎么知道比例增益该设多大？

对电压方程做拉普拉斯变换，忽略交叉耦合项（先做近似处理），可以得到：

G(s) = Iq(s) / Vq(s) = 1 / (Lq * s + Rs)

这就是一个典型的一阶惯性环节。时间常数 τ = Lq / Rs，增益 K = 1 / Rs。

我个人的习惯是，拿到一个新电机，先看它的 Lq 和 Rs 参数。如果 Lq 很大，时间常数就大，电流响应就慢，这时候 PI 控制器的积分时间常数要设得大一些。

关键参数速查表

有了被控对象模型，我们就可以设计电流环了。典型的 PI 控制器传递函数为：

C(s) = Kp + Ki / s

闭环传递函数为：

G_cl(s) = C(s) * G(s) / (1 + C(s) * G(s))

代入化简后，可以得到一个二阶系统。这里有个经典结论：如果按零极点对消来设计，取 Ki / Kp = Rs / Lq，那么闭环传递函数就简化为一阶低通滤波器。

带宽 ωbw = Kp / Lq。这个公式非常实用。比如你想要电流环带宽 1000 rad/s，Lq = 1 mH，那么 Kp = 1。就这么简单。

我的调参经验

带宽不是越高越好。我曾经在一个项目里把电流环带宽设到 2000 rad/s，结果电流噪声全进来了，电机嗡嗡响。后来降到 800 rad/s，反而更平稳。一般建议带宽设置在 500~1500 rad/s 之间，具体看你的 PWM 开关频率和采样延迟。

速度环在电流环外面。机械运动方程：

J * dωm/dt = Te - TL - B * ωm

其中 J 是转动惯量，B 是阻尼系数，TL 是负载转矩。做拉普拉斯变换：

ωm(s) = (Te(s) - TL(s)) / (J * s + B)

你看，又是一个一阶系统。但这里有个问题：电流环的带宽必须远大于速度环的带宽。一般建议速度环带宽是电流环带宽的 1/10 到 1/5。否则内环响应太慢，外环会不稳定。

位置环就更简单了，速度积分就是位置：

θ(s) = ωm(s) / s

所以位置环被控对象是一个积分环节加一个一阶惯性环节。位置环的带宽通常更低，一般在 10~50 rad/s 就够用了。

下面这张图把整个模型到传递函数的脉络梳理清楚了，建议你保存下来对照着看。

上面讲的都是连续域的东西。但实际代码跑在 DSP 或 MCU 上，是离散的。所以要把连续传递函数离散化。

最常用的方法是双线性变换（Tustin 变换）：

s = 2/Ts * (1 - z⁻¹) / (1 + z⁻¹)

其中 Ts 是采样周期。我建议你直接用这个公式把 PI 控制器转成差分方程：

u(k) = u(k-1) + Kp * [e(k) - e(k-1)] + Ki * Ts * e(k)

这个形式在代码里实现非常方便。注意 Ki 要乘以 Ts，因为积分项是累加。

避坑指南

我曾经在一个项目里，采样周期从 100μs 改到 50μs，忘了重新计算 Ki 值，结果电流环直接发散。后来花了半天才排查出来。所以每次改采样频率，一定要重新算一遍 PI 参数。

模型有了，但参数从哪来？厂家给的 datasheet 往往不准，尤其是电感值，随电流变化很大。我个人的做法是：

这些方法都不复杂，但很实用。你想想看，如果连 Rs 都差 20%，你设计的 PI 参数能准吗？