2. 电机数学模型回顾：永磁同步电机(PMSM)的dq轴数学模型、电压方程与转矩方程
做FOC弱磁控制，绕不开dq轴数学模型。说白了，这个模型就是我们控制算法的基础。我个人习惯先把电机从三相静止坐标系变换到两相旋转坐标系，这样很多耦合项就解开了，控制起来直观得多。
你想想看，如果直接在abc三相上做控制，电流、电压都是时变的正弦量，控制器设计会非常麻烦。但转到dq轴后，稳态下这些量都变成了直流量，用PI调节器就能轻松搞定。嗯，这里要注意，这个变换的前提是电机反电动势是正弦的，而且我们忽略了一些高次谐波。
2.1 坐标变换：从abc到dq
先做Clark变换，把三相静止坐标系变换到两相静止坐标系(αβ)。再做Park变换，把αβ坐标系旋转到与转子磁极同步的dq坐标系。
变换矩阵长这样：
// Clark变换 (等幅值变换)
[i_α] [1 -1/2 -1/2 ] [i_a]
[i_β] = [0 √3/2 -√3/2 ] [i_b]
[i_0] [1/2 1/2 1/2 ] [i_c]
// Park变换
[i_d] [cosθ sinθ] [i_α]
[i_q] = [-sinθ cosθ] [i_β]2.2 dq轴电压方程
在dq旋转坐标系下，PMSM的电压方程可以写成：
u_d = R_s * i_d + L_d * di_d/dt - ω_e * L_q * i_q
u_q = R_s * i_q + L_q * di_q/dt + ω_e * (L_d * i_d + ψ_f)这里每个符号都有物理意义：
- u_d, u_q — d轴和q轴电压分量
- i_d, i_q — d轴和q轴电流分量
- R_s — 定子相电阻
- L_d, L_q — d轴和q轴电感
- ω_e — 电角速度 (ω_e = p * ω_m，p是极对数)
- ψ_f — 永磁体磁链
注意看，d轴方程里有个-ω_e * L_q * i_q，q轴方程里有个+ω_e * L_d * i_d。这两个就是交叉耦合项。转速越高，耦合越强。我在项目中遇到过，如果不做解耦补偿，高速时电流环会振荡甚至发散。
ω_e * ψ_f项会逼近母线电压极限，此时必须注入负的i_d来维持电压平衡。
2.3 转矩方程
PMSM的电磁转矩表达式：
T_e = 1.5 * p * [ψ_f * i_q + (L_d - L_q) * i_d * i_q]这个公式包含两部分：
| 项 | 含义 | 说明 |
|---|---|---|
| ψ_f * i_q | 永磁转矩 | 由永磁体与q轴电流相互作用产生，是主要转矩分量 |
| (L_d - L_q) * i_d * i_q | 磁阻转矩 | 由d/q轴电感差异产生，只有凸极电机(L_d ≠ L_q)才有 |
对于表贴式PMSM（SPMSM），L_d ≈ L_q，磁阻转矩几乎为零，转矩只靠i_q控制。对于内置式PMSM（IPMSM），L_d < L_q，磁阻转矩可以利用起来。我曾经在一个IPMSM项目里，通过合理分配i_d和i_q，把同样电流下的转矩提升了15%左右。
2.4 稳态方程与电压极限
忽略电阻压降（高速时电阻压降占比很小），稳态电压方程简化为：
u_d ≈ -ω_e * L_q * i_q
u_q ≈ ω_e * (L_d * i_d + ψ_f)定子电压幅值：
u_s = √(u_d² + u_q²) ≈ ω_e * √[(L_q * i_q)² + (L_d * i_d + ψ_f)²]这个公式揭示了弱磁的本质：当转速ω_e升高，u_s会增大。但逆变器能输出的最大电压受限于母线电压U_dc：
u_s ≤ U_max = U_dc / √3 (SVPWM调制)一旦u_s达到U_max，就必须通过调整i_d和i_q来让电压幅值不超过这个边界。这就是弱磁控制的约束条件。
2.5 知识体系总览
下面这张图把本章的核心逻辑串起来了：
2.6 几个容易踩的坑
聊几个我实际调试中遇到的问题：
- 电感参数不准：L_d和L_q会随电流变化，尤其是重载时。我曾经因为用了空载测的电感值，结果弱磁深度一上去，电流环就开始抖。后来加了查表补偿才稳住。
- 磁链ψ_f的温度漂移：永磁体温度升高，ψ_f会下降。这意味着同样的i_d，弱磁效果在冷机和热机时不一样。我建议在软件里留一个温度补偿系数。
- 电阻压降不能忽略：低速大扭矩时，R_s * i的压降占比很大。如果直接用简化方程算电压极限，会低估实际需要的电压，导致电流环饱和。