4. 低速下的摩擦力补偿：Stribeck模型、库仑摩擦与粘滞摩擦的辨识与补偿

各位做运动控制的同行，低速爬行这个问题，我估计十个人里有九个都头疼过。明明给定速度很稳，电机却在那一顿一顿的，像卡了痰一样。说白了，罪魁祸首就是摩擦力。

摩擦力这东西，在高速时还好，它就是个线性阻尼。但一到低速，它就露出真面目了——非线性、时变、还带记忆效应。我当年调试一个精密转台，0.1 r/min 以下怎么都稳不住，折腾了两周，最后发现是 Stribeck 效应在作怪。今天我们就把它彻底扒开。

4.1 摩擦力的三个“分身”

要补偿摩擦力，先得认识它。在低速域，摩擦力主要由三部分组成：

摩擦分量	物理本质	与速度的关系	典型特征
库仑摩擦	接触面微观凸起的机械互锁	与速度方向相反，大小恒定	速度过零时跳变
粘滞摩擦	润滑剂的剪切阻力	与速度成正比（线性）	高速时占主导
Stribeck 摩擦	边界润滑向流体润滑过渡	速度增加时摩擦力先降后升	负阻尼特性，引起爬行

你想想看，为什么低速会爬行？就是因为 Stribeck 效应在速度极低时，摩擦力随速度增加反而减小，形成了负阻尼。系统在这个区间是不稳定的，就像你踩刹车时刹车片在半结合状态那种抖动。

4.2 Stribeck 模型——把摩擦力“公式化”

工程上最常用的摩擦力模型，就是 Stribeck 模型。它的数学形式是这样的：

F_f(v) = [F_c + (F_s - F_c) * exp(-|v/v_s|^δ)] * sign(v) + B * v

其中：

• F_c：库仑摩擦力（常数）
• F_s：静摩擦力（启动瞬间的最大值）
• v_s：Stribeck 速度（转折点）
• δ：形状系数（通常取 0.5~2）
• B：粘滞摩擦系数

这个模型的核心思想是：摩擦力不是简单的“静摩擦+动摩擦”，而是有一个从静摩擦下降到库仑摩擦，再随速度上升的“U型”曲线。

4.3 摩擦参数辨识——三步走

模型有了，参数怎么来？我个人的习惯是分三步走，不需要昂贵的测力计，用伺服自带的编码器和电流检测就能搞定。

第一步：测库仑摩擦 F_c 和粘滞系数 B

让电机在几个不同的恒定速度下匀速运行（比如 10、50、100、200 r/min），记录每个速度下的稳态电流（或力矩）。然后做线性拟合：

# 伪代码示例
速度序列 = [10, 50, 100, 200]  # r/min
电流序列 = [0.12, 0.15, 0.20, 0.30]  # A

# 线性拟合：电流 = B * 速度 + F_c
# 结果：B ≈ 0.001 A/(r/min), F_c ≈ 0.11 A

注意，这里测的是匀速段，加速度为零，所以电流就是摩擦力矩。我在项目中遇到过有人用加速段数据去拟合，结果粘滞系数偏大一倍——因为加速度本身也需要力矩。

第二步：测静摩擦力 F_s

给电机一个缓慢增加的力矩斜坡，记录电机刚刚开始转动的瞬间力矩值。多测几次取平均。

第三步：辨识 Stribeck 参数 v_s 和 δ

这是最麻烦的一步。在极低速区间（比如 0.1~5 r/min），以 0.1 r/min 为步进，测量每个速度点的稳态摩擦力。然后对 Stribeck 公式做非线性最小二乘拟合。

# 使用 scipy.optimize.curve_fit 示例
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np

def stribeck_model(v, F_c, F_s, v_s, delta, B):
    return (F_c + (F_s - F_c) * np.exp(-(np.abs(v)/v_s)**delta)) * np.sign(v) + B * v

# 实测数据
v_data = np.array([0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0])
F_data = np.array([0.25, 0.22, 0.18, 0.16, 0.17, 0.20])

# 初始猜测（用前两步的结果）
p0 = [0.11, 0.35, 0.5, 1.0, 0.001]
popt, _ = curve_fit(stribeck_model, v_data, F_data, p0=p0)

# popt = [F_c, F_s, v_s, delta, B]

4.4 补偿策略——前馈为主，反馈为辅

参数辨识出来了，怎么用？我的做法是：前馈补偿 + 反馈微调。

前馈部分，根据当前速度指令，用 Stribeck 模型计算出期望的摩擦力矩，直接加到电流环的给定上。这样摩擦力在系统响应之前就被“抵消”了。

// 摩擦力前馈计算（C语言伪代码）
float friction_ff(float speed_cmd)
{
    float sign = (speed_cmd > 0) ? 1.0f : -1.0f;
    float abs_v = fabs(speed_cmd);
    float stribeck_term = F_c + (F_s - F_c) * exp(-pow(abs_v / v_s, delta));
    float viscous_term = B * abs_v;
    return (stribeck_term + viscous_term) * sign;
}

// 在电流环中叠加
current_ref = speed_pi_output + friction_ff(speed_cmd);

但前馈不可能完美——温度变化、磨损都会让参数漂移。所以我会保留一个低增益的积分项来吃掉残余误差。积分增益设到正常 PI 的 1/5 就行，太高反而会引起振荡。

4.5 知识体系总览

下面这张图，是我自己总结的摩擦力补偿完整流程，从模型到辨识再到补偿，一步到位：

4.6 实战中的几个坑

最后，分享几个我踩过的坑，希望能帮你省点时间：

• 温度漂移： 摩擦参数不是一成不变的。电机运行 30 分钟后，F_c 可能下降 15%~20%。我建议在系统空闲时做一次快速在线辨识，或者用温度传感器做查表修正。
• 方向不对称： 正反转的摩擦力往往不一样。我遇到过一台设备，正转 F_s = 0.4 N·m，反转只有 0.3 N·m。原因是导轨安装有微小的倾斜。所以一定要正反两个方向分别辨识。
• 不要过度补偿： 前馈补偿量不要超过实际摩擦力的 90%。留一点余量给反馈环去处理，否则系统会变得“太脆”，对微小扰动过于敏感。
• 启动瞬间的处理： 速度过零时，sign(v) 函数会跳变，容易引起电流冲击。我习惯在零速附近做一个 0.1 r/min 的滞回区间，平滑过渡。

摩擦力补偿做到位了，低速控制就成功了一大半。剩下的就是机械谐振抑制和观测器设计，我们后面再聊。