第4章 电流环建模：电机电枢回路传递函数推导

做三环控制，电流环是根基。根基不稳，速度环和位置环就是空中楼阁。这一章，我们来啃电流环的数学模型。

说白了，电流环的被控对象就是电机电枢回路。你想想看，电机转得快不快，取决于电流大不大；电流怎么走，取决于电枢回路的电气特性。所以，建模的第一步，就是把电枢回路吃透。

4.1 电枢回路的物理模型

直流电机的电枢回路，本质上就是一个电阻-电感串联电路，再串一个反电动势源。我习惯先画等效电路图，再列方程，这样思路最清晰。

根据基尔霍夫电压定律，电枢回路的微分方程是：

U_a(t) = R_a · i_a(t) + L_a · di_a(t)/dt + E_a(t)

这个方程，就是电流环建模的起点。我在现场调试时，经常遇到有人跳过这一步直接调 PI 参数，结果电流震荡得厉害，最后还得回来老老实实算参数。

4.2 传递函数推导

把微分方程拉氏变换，零初始条件下：

U_a(s) = R_a · I_a(s) + L_a · s · I_a(s) + E_a(s)

整理一下：

U_a(s) - E_a(s) = (R_a + L_a · s) · I_a(s)

所以，从电压差到电流的传递函数是：

G(s) = I_a(s) / [U_a(s) - E_a(s)] = 1 / (R_a + L_a · s)

写成标准一阶惯性环节形式：

G(s) = (1/R_a) / (1 + (L_a/R_a) · s) = K / (1 + T · s)

其中：

• K = 1/R_a —— 增益系数
• T = L_a/R_a —— 电气时间常数

4.3 反电动势的影响

这里有个坑，很多人会忽略。上面的传递函数是不考虑反电动势的简化模型。实际运行时，电机一转起来就有反电动势，它会抵消一部分外加电压。

反电动势 E_a 与转速 ω 成正比：

E_a(s) = K_e · ω(s)

而转速又和电流通过转矩方程耦合。所以，严格来说，电流环和速度环是交叉耦合的。

4.4 电流环被控对象模型

综合以上分析，电流环的被控对象模型可以表示为：

G_plant(s) = K / (1 + T · s)

但实际系统中，还有几个环节需要串联进去：

1. PWM 逆变器等效环节 —— 通常近似为一个小惯性环节或纯延迟
2. 电流采样滤波环节 —— 一阶低通滤波
3. 死区时间、管压降等非线性因素

所以，完整的被控对象模型是：

G_total(s) = [K / (1 + T · s)] · [1 / (1 + T_pwm · s)] · [1 / (1 + T_filt · s)]

其中 T_pwm 和 T_filt 都是小时间常数，通常可以合并处理。

4.5 知识体系结构图

下面这张图，把电流环建模的整个逻辑串起来了。我建议你把它存下来，以后做整定时对照着看。

4.6 模型参数实测方法

理论推导完了，但参数从哪来？我一般用以下方法实测：

参数	实测方法	注意事项
Ra	电枢两端加直流电压，测稳态电流，R = U / I	电机转子要堵转，避免反电动势干扰
La	用电桥或 LCR 表直接测量	频率选 1kHz 左右，接近 PWM 载波频率
T	给电枢加阶跃电压，记录电流上升曲线，拟合时间常数	采样率要够高，至少 10 倍于 1/T
Ke	电机空载运行，测转速和反电动势	用示波器测电枢两端电压，减去 I·R 压降

4.7 模型验证

模型建好了，怎么知道对不对？我的做法是：

1. 给电枢加一个低幅值阶跃电压（比如 10% 占空比）
2. 用示波器抓电流波形
3. 把实测波形和模型仿真波形叠在一起对比
4. 如果上升时间、稳态值、超调量吻合，模型就对了

如果对不上，别急着调模型。先检查：

• 采样电路有没有滤波延迟？
• PWM 死区时间有没有补偿？
• 电机温度变了，电阻值漂了没？

嗯，这些细节往往比模型本身更影响整定效果。