2. 概率与估计基础

扩展卡尔曼滤波（EKF）本质上是一套在非线性系统中递推进行状态估计的概率方法。要真正理解 EKF 的预测步与更新步，必须先掌握它背后的概率语言：随机变量描述不确定量，高斯分布给出不确定性的形状，条件概率刻画“已知某些信息后”的推断，而贝叶斯估计、最小均方误差估计（MMSE）与最大后验估计（MAP）则回答“如何从观测反推状态”这一核心问题。本节把这些概念串成一条从概率到估计的完整链条。

一、随机变量与高斯分布：不确定性的数学载体

随机变量是把随机试验结果映射为数值的函数。在工程中，我们关心的状态（位置、速度、姿态、温度）和观测（传感器读数）都建模为随机变量。连续随机变量用概率密度函数（PDF）描述取值可能性，其积分给出概率。最重要的分布是高斯分布（正态分布），一维形式为：

p(x) = 1/(sqrt(2π)σ) · exp( -(x-μ)² / (2σ²) )

μ：均值，代表分布中心（最可能的取值趋势）
σ²：方差，代表不确定度（分布宽度）
σ：标准差，与 μ 同量纲，便于工程解读

多维高斯分布用均值向量 μ 和协方差矩阵 Σ 描述。协方差矩阵的对角线是各分量方差，非对角线刻画分量之间的相关性。EKF 中状态协方差矩阵 P 正是这一概念的直接应用：P 越大表示对当前状态越不确定，P 越小表示估计越可信。高斯分布之所以在滤波中占据中心地位，一是许多物理噪声近似高斯，二是高斯分布经过线性变换和条件化后仍是高斯，这保证了卡尔曼类滤波器可以只用均值和协方差递推，而无需保存完整 PDF。

二、条件概率与贝叶斯公式：从先验到后验

条件概率 P(A|B) 表示在事件 B 发生的前提下 A 发生的概率。贝叶斯公式把它反过来用：

P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)

P(A)   ：先验概率，观测前的信念
P(B|A) ：似然，给定状态时观测出现的可能性
P(A|B) ：后验概率，看到观测后更新的信念
P(B)   ：归一化因子（证据）

在连续状态下，概率变为概率密度，求和变为积分。贝叶斯估计的思想是：先有先验分布 p(x)，再根据观测 z 通过似然 p(z|x) 得到后验 p(x|z)。EKF 的更新步正是这一过程在高斯假设下的解析实现——先验是预测分布 N(x̂⁻, P⁻)，似然由观测模型和观测噪声给出，后验则是更新后的 N(x̂, P)。

三、MMSE 与 MAP：两种最优估计准则

有了后验分布，还需要一个准则把分布“压缩”成一个点估计。最常用的两个准则是：

• 最小均方误差估计（MMSE）：选择使均方误差 E[(x - x̂)²] 最小的估计值。数学上，MMSE 估计等于后验均值 x̂ = E[x|z]。
• 最大后验估计（MAP）：选择使后验概率密度最大的估计值，即 x̂ = argmax p(x|z)，也就是后验分布的众数。

对于高斯后验，均值与众数重合，因此 MMSE 与 MAP 给出相同结果。这正是卡尔曼滤波“均值即最优估计”的根源。当后验非高斯时，两者才会分离：MMSE 偏向分布的质量中心，MAP 偏向概率密度峰值。理解这一点，有助于在 EKF 之外选择粒子滤波或其它非线性估计方法。

四、核心关系图解

下图把本节的关键概念组织成一条从“不确定性建模”到“最优估计输出”的推理链，并标出 EKF 预测步与更新步在其中的位置。

五、案例：一维位置估计中的贝叶斯更新

设目标真实位置 x，先验为 N(10, 4)（均值 10 m，方差 4 m²）。传感器观测 z = 12 m，观测噪声方差 R = 1 m²，观测模型为 z = x + v。在高斯假设下，后验均值和方差为：

先验：μ⁻ = 10,  σ⁻² = 4
观测：z = 12,   R = 1

卡尔曼增益：K = σ⁻² / (σ⁻² + R) = 4 / (4 + 1) = 0.8
后验均值：μ = μ⁻ + K·(z − μ⁻) = 10 + 0.8 × 2 = 11.6
后验方差：σ² = (1 − K)·σ⁻² = 0.2 × 4 = 0.8

可以看到，观测把估计从 10 拉向 12，但并未完全等于观测，因为先验也有信息量；同时方差从 4 降到 0.8，不确定度显著减小。这正是贝叶斯融合的直观体现：谁的方差小（更可信），谁的话语权就更大。

六、常见误区与复盘

小结：随机变量与高斯分布提供了不确定性的描述语言；条件概率与贝叶斯公式给出了从先验到后验的推理机制；MMSE 与 MAP 则定义了从后验分布提取点估计的准则。EKF 的预测步与更新步，正是这套概率估计理论在非线性系统中的递推实现。掌握本节内容，是理解卡尔曼增益、协方差传播与滤波稳定性的必要前提。