4. 数学与统计基础
自动校准算法的本质，是把“测量数据”转化为“参数估计”的过程。无论是零点漂移补偿、增益校正，还是多传感器融合标定，最终都要回答三个问题：参数是多少、可信度多高、误差如何传播。本节把后续章节反复用到的数学工具集中梳理一遍，重点不是推导，而是建立“什么场景该用什么方法”的判断力。
一、最小二乘：最常用的参数估计准则
最小二乘（Least Squares, LS）的思想非常直观：让模型预测值与实测值之间的残差平方和最小。对于线性模型 y = Xθ + ε，其闭式解为：
θ_hat = (XᵀX)⁻¹ Xᵀ y # 正规方程
# 数值更稳的写法（避免显式求逆）
θ_hat = solve(X.T @ X, X.T @ y)
# 加权最小二乘 WLS：不同测点置信度不同
θ_hat = solve(X.T @ W @ X, X.T @ W @ y)在自动校准中，最小二乘适合噪声近似高斯、模型结构已知、异常点较少的场景，例如线性传感器的斜率与截距标定、多点温度拟合。它的优点是计算快、可解析、易于在线递推（递推最小二乘 RLS）。缺点是对离群点敏感，一个坏点就能显著拉偏结果，因此工程上常配合剔除策略或改用鲁棒损失函数。
二、极大似然与贝叶斯估计：从“点估计”到“分布估计”
极大似然估计（MLE）从概率角度出发：选择使观测数据出现概率最大的参数。当噪声为独立同分布高斯时，MLE 等价于最小二乘；当噪声为拉普拉斯分布时，MLE 等价于最小绝对偏差。这说明准则的选择本质上是对噪声分布的假设。
贝叶斯估计更进一步，把参数本身视为随机变量，利用先验分布与似然函数得到后验分布：
后验 ∝ 似然 × 先验
p(θ|y) ∝ p(y|θ) · p(θ)
# 高斯情形下的经典结论
后验均值 = 先验均值 + 卡尔曼增益 × (观测 - 先验预测)这正是卡尔曼滤波与在线校准参数更新的理论根基。贝叶斯方法的优势在于：先验可以编码历史标定结果或工艺知识，在样本稀少时抑制过拟合；同时输出的是分布而非单点，天然携带不确定度信息。代价是需要选择先验，且计算量通常更大。
三、插值与拟合：模型怎么“长出来”
插值要求曲线严格穿过每个样本点，常见方法有拉格朗日插值、牛顿插值和三次样条。它适合数据本身精确、需要查表或重建连续曲线的场合，例如传感器分段标定表的平滑。但插值对噪声零容忍，测量误差会被原样保留甚至放大，因此校准场景通常优先使用拟合。
拟合允许残差存在，通过选择模型形式（多项式、指数、样条、物理机理模型）来逼近真实关系。工程要点有三条：一是模型阶数要与物理规律匹配，阶数过高会出现龙格现象，端点剧烈振荡；二是要区分内插与外推，外推区间的不确定度会迅速增大；三是要做残差分析，若残差呈现系统性趋势，说明模型结构有偏，而非随机噪声。
四、不确定度分析：给校准结果配一份“说明书”
校准结果若只有参数值而没有不确定度，就无法判断两次标定是否真的存在差异。不确定度评定分为 A 类与 B 类：A 类由重复测量的统计分布得到，B 类来自校准证书、仪器分辨率、经验界限等。合成标准不确定度按传播律计算，扩展不确定度则乘以包含因子 k（通常 k=2，约 95% 置信）。
| 方法 | 优化目标 | 输出形式 | 适用场景 | 主要风险 |
|---|---|---|---|---|
| 最小二乘 LS | 残差平方和最小 | 点估计 θ̂ | 高斯噪声、线性标定、在线递推 | 离群点敏感 |
| 极大似然 MLE | 似然函数最大 | 点估计 θ̂ | 已知噪声分布、样本量较大 | 分布假设错误则失效 |
| 贝叶斯估计 | 后验分布 | 分布 p(θ|y) | 样本少、有先验知识、需不确定度 | 先验选择主观 |
| 插值 | 严格过点 | 连续曲线 | 精确查表、分段标定 | 放大噪声、端点振荡 |
| 拟合 | 残差最小 + 模型约束 | 模型参数 | 含噪数据、物理建模 | 过拟合、外推失真 |
五、案例与常见误区
某压力传感器做三点标定，采样 20 组数据。若直接对 20 个点做高阶多项式插值，曲线会穿过每个噪声点，导致中间段出现虚假波动；正确做法是用一阶或二阶模型做最小二乘拟合，并检查残差是否随机。若发现某几个点残差显著偏大，应先排查是否属于安装应力或温漂异常，而不是盲目提高模型阶数。
常见误区二：忽略参数相关性。多参数同时估计时，协方差矩阵的非对角项说明参数之间存在耦合，单独看每个参数的标准差会低估整体不确定度。
常见误区三：用插值替代拟合处理含噪标定数据，结果把噪声“固化”进校准曲线。