4. 标定基础理论
陀螺零偏与尺度因子标定的本质，是用一组可测量的输入输出数据，去估计陀螺仪内部“看不见”的确定性误差参数。要做到这一点，必须先建立三样东西：坐标系（谁相对谁测量）、数学模型（输出如何由输入和误差参数生成）、误差模型（哪些误差项被保留、哪些被忽略）。三者缺一，标定结果就失去物理意义。
一、坐标系定义：标定的“基准面”
陀螺标定至少涉及四个坐标系，它们之间的转换关系决定了模型的形式：
- 载体坐标系（b 系）：固连在陀螺安装基座上，随载体运动，是实际使用时的参考系。
- 敏感轴坐标系（s 系）：由陀螺三个敏感轴实际指向构成，由于装配误差，它与 b 系并不重合，存在安装失准角。
- 转台坐标系（t 系）：由标定转台的内、中、外框定义，是输入角速度的“真值”来源。
- 地理坐标系（n 系）：东北天或北东地，用于引入地球自转角速度分量。
标定的核心任务之一，就是求出 s 系到 b 系的转换矩阵，使陀螺输出能正确投影到载体坐标系。若忽略这一层，零偏和尺度因子的估计会被安装误差“污染”。
二、标定数学模型与输入输出关系
陀螺的静态输入输出关系可写成如下通用形式：
ω_out = K · ω_in + b + ε
其中：
ω_out : 陀螺三轴原始输出（LSB 或 V）
ω_in : 输入角速度真值（°/s），由转台提供
K : 3×3 标度因数矩阵（含尺度因子与交叉耦合）
b : 3×1 零偏向量（°/s 或 LSB）
ε : 随机噪声与未建模误差
当只考虑主对角项时，K 退化为三个独立尺度因子；当考虑安装失准与轴间耦合时，K 为满阵。零偏 b 是输入为零时的输出截距，尺度因子是输出对输入的斜率。二者共同构成一阶线性误差模型。
关键理解：零偏决定“零点偏了多少”，尺度因子决定“斜率差了多少”。在输入输出平面上，零偏是截距，尺度因子是斜率，二者正交可分，因此可以通过多位置、多速率实验分别辨识。
三、误差模型建立方法
误差模型建立遵循“先结构、后参数”的流程：
- 确定误差项集合：根据陀螺类型（MEMS、光纤、激光）和精度要求，选择零偏、尺度因子、交叉耦合、非线性、温度系数等项。
- 设计激励实验：多位置法用于分离零偏与地球自转分量；多速率法用于拟合尺度因子；正反转法用于抵消部分固定误差。
- 构造观测方程：将每个位置的输出写成参数向量与回归矩阵的乘积，形成最小二乘问题。
- 参数估计与检验：用最小二乘或卡尔曼滤波求解，检查残差是否白化、参数是否显著。
以三位置法为例，观测方程可写为：
位置1（+X 朝上）：ω_out,x = Kx·(Ωe·sinφ) + bx
位置2（-X 朝上）：ω_out,x = Kx·(-Ωe·sinφ) + bx
位置3（水平静止）：ω_out,x = bx
联立可解出 Kx 与 bx
四、典型场景与参数关系
下表给出某型 MEMS 陀螺在常温下标定的典型参数与含义，便于建立数量级概念：
| 误差项 | 符号 | 典型量级 | 物理含义 |
|---|---|---|---|
| 零偏 | b | 0.1～10 °/s | 零输入时的输出偏移 |
| 尺度因子 | K | 0.5～2（无量纲） | 输出与输入的斜率比 |
| 交叉耦合 | Kxy | 0.1%～2% | 轴间串扰引起的附加输出 |
| 零偏重复性 | σb | 0.01～0.5 °/s | 多次上电零偏的分散度 |
| 零偏稳定性 | Bias Instability | 1～100 °/h | Allan 方差最低点对应值 |
下图给出标定数学模型的信号链关系，从转台输入到陀螺输出，再到参数辨识，形成完整闭环：
五、常见误区与复盘要点
误区一：把零偏当常数。零偏随温度、时间、上电次数变化，单次标定值不能长期使用，必须区分“标定零偏”与“零偏稳定性”。
误区二：忽略安装失准。若 s 系与 b 系不重合，尺度因子矩阵 K 的非对角项会被误判为交叉耦合，导致补偿后仍有残差。
误区三：用单速率拟合尺度因子。单点无法区分零偏与斜率，至少需要两个不同速率或正反转实验。
复盘建议：每次标定后，用未参与拟合的验证点检查残差；若残差随输入增大而增大，说明非线性项未建模；若残差随位置变化，说明零偏或安装矩阵估计不准。标定不是“算完即止”，而是“建模—辨识—验证”的闭环。
综上，标定基础理论的核心是：以坐标系为基准，以输入输出关系为骨架，以误差模型为参数集合，通过合理实验设计把零偏、尺度因子和耦合项从原始数据中分离出来。只有模型结构正确，后续的补偿和组合导航才能获得可信的角速度信息。