3. 坐标系与姿态表示

在六轴IMU采集与姿态测量中，传感器输出的加速度和角速度都是相对于自身安装位置测量的。要让这些数据具有物理意义，必须先明确“相对于哪个坐标系”，再选择一种姿态表示方法把旋转关系描述出来。本节围绕载体坐标系、导航坐标系、欧拉角、方向余弦矩阵和四元数五个核心概念展开，并给出它们之间的转换关系。

一、两个基础坐标系：载体坐标系与导航坐标系

载体坐标系（Body Frame，记作 b 系）固定在运动载体上，原点通常取在IMU的测量中心。三轴方向与传感器敏感轴一致：x 轴指向载体前方，y 轴指向右方，z 轴指向下方（也可按右手系定义为前-右-下或前-右-上，需与器件手册一致）。IMU输出的加速度、角速度默认都在 b 系下表达。

导航坐标系（Navigation Frame，记作 n 系）是姿态解算的参考基准，常见选择为“东北天”（ENU）或“北东地”（NED）。n 系原点可固定于初始位置，三轴分别指向地理东、北、天（或北、东、地）。姿态测量的本质，就是求取 b 系相对于 n 系的旋转关系。

二、姿态的四种表示方法

欧拉角用三个角度描述旋转，最常用的是 Z-Y-X 顺序：先绕 z 轴偏航（Yaw，ψ），再绕 y 轴俯仰（Pitch，θ），最后绕 x 轴横滚（Roll，φ）。欧拉角直观、易读，但存在万向节死锁：当俯仰角接近 ±90° 时，偏航与横滚耦合，解算会退化。

方向余弦矩阵（DCM，也称旋转矩阵 R）是一个 3×3 正交矩阵，其元素为两坐标系基向量之间的方向余弦。它无奇异点，可直接用于向量坐标变换：vⁿ = R_bⁿ · v^b。缺点是含 9 个参数、存在冗余，且数值积分后需正交化。

四元数用一个实部和三个虚部表示旋转，q = [q₀, q₁, q₂, q₃]^T，满足单位约束 q₀²+q₁²+q₂²+q₃²=1。它无奇异、计算量小、适合递推更新，是姿态解算中最常用的内部表示。

三、相互转换的核心流程

实际工程中，姿态解算通常以四元数为内部状态，按以下流程完成表示转换：

1. 初始化：由加速度计在静止时估计初始横滚与俯仰，由磁力计或已知航向确定偏航，得到初始欧拉角。
2. 转四元数：将初始欧拉角按 Z-Y-X 顺序转换为单位四元数 q₀。
3. 递推更新：用陀螺仪角速度 ω 构造四元数微分方程 q̇ = 0.5 · q ⊗ ω，积分得到新四元数并归一化。
4. 输出转换：需要显示时把四元数转欧拉角；需要做向量旋转时把四元数转 DCM。

// 四元数微分方程递推（简化示意）
q0 = q0 + 0.5 * dt * (-q1*wx - q2*wy - q3*wz);
q1 = q1 + 0.5 * dt * ( q0*wx + q2*wz - q3*wy);
q2 = q2 + 0.5 * dt * ( q0*wy - q1*wz + q3*wx);
q3 = q3 + 0.5 * dt * ( q0*wz + q1*wy - q2*wx);
// 归一化
norm = sqrt(q0*q0 + q1*q1 + q2*q2 + q3*q3);
q0/=norm; q1/=norm; q2/=norm; q3/=norm;

四、四种表示方法对比

五、案例与常见误区

案例：无人机悬停姿态输出。飞控内部用四元数做互补滤波或卡尔曼滤波，每 1 ms 更新一次；对外通过 MAVLink 发送欧拉角供地面站显示；在控制律中把期望推力方向从 n 系转到 b 系时，则使用 DCM。三种表示各司其职，而不是互相替代。