2. 数学基础
信息光学区别于传统几何光学与波动光学的核心，在于它将光学系统视为一个线性不变系统，并借助傅里叶分析这一数学工具来研究光的传播、衍射、成像与信息处理过程。无论是相干光场在自由空间的菲涅尔衍射，还是透镜的傅里叶变换性质，抑或是全息记录中的频谱分离，其底层逻辑都建立在傅里叶变换、卷积和相关运算这三大数学支柱之上。本章将系统梳理这三种运算的严格定义、核心性质，并重点阐释它们在光学分析中的物理对应关系，帮助学习者建立从数学公式到物理图像的直觉桥梁。
上图展示了三大数学工具在光学分析中的核心角色与相互关联。傅里叶变换是连接空间域与频率域的桥梁，卷积描述了线性系统对输入光场的响应过程，而相关运算则用于度量两个光场之间的相似程度。三者通过卷积定理和相关定理紧密联系，共同构成了信息光学分析和设计的数学基础。
2.1 傅里叶变换：从空间域到频率域的桥梁
2.1.1 核心原理：定义与物理对应
在信息光学中，我们处理的物理量通常是光场的复振幅分布 \( g(x,y) \)，它是一个二维复函数。二维傅里叶变换的数学定义为：
G(fx, fy) = ∬ g(x,y) · exp[-j2π(fx·x + fy·y)] dx dy其中 \( f_x, f_y \) 是空间频率，单位为线对/毫米（lp/mm）或周期/毫米。逆变换为：
g(x,y) = ∬ G(fx, fy) · exp[+j2π(fx·x + fy·y)] dfx dfy从物理角度看，傅里叶变换将一个复杂的光场分解为一系列平面波的叠加。\( G(f_x, f_y) \) 的模代表各方向平面波的振幅权重，其辐角代表初始相位。这一解释与夫琅禾费衍射现象完美对应：当相干光通过孔径后，在远场观察到的衍射图样正是孔径透射函数的傅里叶变换的强度分布。
2.1.2 常用性质与光学解释
| 性质 | 数学表达 | 光学解释 |
|---|---|---|
| 线性性 | FT[af+bg] = aFT[f]+bFT[g] | 光场叠加原理的频域体现 |
| 平移性 | FT[f(x-x0)] = F(fx)·exp(-j2πfx·x0) | 物体平移只引入线性相位因子，频谱强度不变 |
| 缩放性 | FT[f(ax)] = (1/|a|)F(fx/a) | 孔径缩小，衍射图样扩展（反比关系） |
| 帕塞瓦尔定理 | ∫|f|²dx = ∫|F|²dfx | 光场能量在空域和频域中守恒 |
在光学实验中，平移性意味着当我们横向移动一个透明片时，其频谱的强度分布（即夫琅禾费衍射图样）保持不变，只是相位发生线性变化。这一性质在相干光学处理中至关重要，例如在 Vander Lugt 相关器中，输入面的平移不会影响相关峰的位置，只改变其相位。
2.1.3 实战场景：矩形光栅的频谱分析
考虑一个一维矩形光栅，其振幅透射率为周期为 \( d \)、占空比为 1/2 的矩形波。其傅里叶变换为一系列离散的 δ 函数，位于 \( f_x = n/d \) 处，振幅包络为 sinc 函数。在光学实验中，用平行相干光照射该光栅，在透镜后焦面上观察到的衍射图样就是这些离散的谱点。
通过测量各衍射级次的相对强度，可以反推光栅的占空比、周期等参数。若光栅存在缺陷（如周期不均匀），频谱中会出现额外的杂散峰，这为光栅质量检测提供了灵敏的手段。
2.2 卷积运算：线性系统响应的叠加积分
2.2.1 核心原理：定义与物理图像
卷积运算的数学定义为：
g_out(x,y) = ∬ g_in(ξ,η) · h(x-ξ, y-η) dξ dη = g_in ⊗ h其中 \( h(x,y) \) 是系统的点扩散函数（PSF），即系统对单位脉冲输入的响应。在光学成像系统中，物面上一个理想点光源经过成像系统后，在像面上形成一个弥散斑，这个弥散斑的分布就是 PSF。任何复杂的物函数都可以看作无数点光源的叠加，因此像面光场就是物函数与 PSF 的卷积。
卷积的物理过程可以理解为：将 PSF 翻转后平移，与物函数逐点相乘并积分。这一过程在光学上对应着光场传播中的衍射效应——每个物点发出的光在像面上都会扩展成一个斑，所有斑的相干叠加形成了最终的像。
2.2.2 卷积定理与光学传递函数
卷积定理指出：空域卷积的傅里叶变换等于各自傅里叶变换的乘积：
FT[g_in ⊗ h] = G_in(fx, fy) · H(fx, fy)这里 \( H(f_x, f_y) \) 称为光学传递函数（OTF），其模 \( |H| \) 是调制传递函数（MTF），描述系统对各频率成分的对比度衰减。这一关系使得成像系统的分析可以在频域中进行：物频谱乘以 OTF 得到像频谱，再逆变换得到像面分布。
2.2.3 案例拆解：非相干成像系统的卷积模型
在非相干成像系统中，光强是线性叠加的，因此像面强度分布等于物面强度分布与 PSF 强度的卷积。假设一个理想的条形目标（物函数为矩形函数），经过一个 PSF 为高斯分布的成像系统后，像的强度分布为两者的卷积，结果是一个边缘被平滑的矩形。
通过测量像边缘的过渡区宽度，可以估算系统的分辨率。若 PSF 的宽度为 \( \sigma \)，则边缘过渡区约为 \( 2\sigma \)。这一方法常用于显微镜和望远镜的分辨率测试。
| 系统类型 | 叠加对象 | PSF 含义 | 卷积域 |
|---|---|---|---|
| 相干成像 | 复振幅 | 振幅点扩散函数 | 复振幅卷积 |
| 非相干成像 | 光强 | 强度点扩散函数 | 强度卷积 |
| 相干照明衍射 | 复振幅 | 菲涅尔核/夫琅禾费核 | 衍射积分 |
2.3 相关运算：光场相似性的度量
2.3.1 核心原理：互相关与自相关
两个函数 \( f(x,y) \) 和 \( g(x,y) \) 的互相关定义为：
f ★ g = ∬ f*(ξ,η) · g(x+ξ, y+η) dξ dη自相关是 \( f \) 与自身的互相关：\( f ★ f \)。相关运算与卷积的区别在于：相关不需要对第二个函数进行翻转，而是直接平移并做共轭相乘。在光学中，相关运算可以通过 4F 系统实现：将两个输入分别放置在输入面和滤波面，通过透镜的傅里叶变换性质，在输出面得到相关峰。
相关运算的物理意义是度量两个光场之间的匹配程度。当两个光场完全相同时，自相关峰出现在原点且强度最大；当存在位移时，相关峰的位置反映位移量；当两个光场不相似时，相关峰强度很低。
2.3.2 相关定理与功率谱
相关定理建立了相关运算与频谱之间的联系：
FT[f ★ g] = F*(fx, fy) · G(fx, fy)特别地，自相关的傅里叶变换等于功率谱密度：\( FT[f ★ f] = |F(f_x, f_y)|² \)。这就是维纳-辛钦定理，它表明光场的自相关函数与其功率谱构成傅里叶变换对。在光学测量中，通过测量光场的自相关（例如用迈克尔逊干涉仪），可以间接获得其功率谱信息，这是傅里叶变换光谱学的原理基础。
2.3.3 实战场景：光学相关器用于目标识别
在 Vander Lugt 相关器中，我们将参考目标的傅里叶变换全息图记录在滤波面上。当输入场景中包含目标时，在输出面会形成一个明亮的相关峰；若场景中没有目标，则只有微弱的背景噪声。通过检测相关峰的位置和强度，可以实现目标的定位与识别。
具体参数示例：设输入场景为 512×512 像素，目标为 64×64 像素的字符“A”。经过 4F 系统后，输出面的相关峰强度比背景噪声高约 20-30 dB。当目标发生旋转或缩放时，相关峰强度会显著下降，这既是该方法的局限，也是其可用于精确匹配的优势。