2. 数学基础
说实话，做自由曲面优化，数学基础是绕不开的坎。我见过不少同学一上来就调参数，结果曲面不光顺、连续性不对，折腾半天才发现是底层曲线没选对。这一章，咱们就把参数曲线与曲面的几个核心概念捋清楚。
2.1 参数曲线：从 Bezier 到 NURBS
先说说 Bezier 曲线。它的核心思想很简单：用一组控制点来定义曲线形状。你拖动控制点，曲线跟着变。我最早接触它是在做汽车 A 级曲面时，那时候觉得这东西真直观。
Bezier 曲线的数学形式：
C(t) = Σᵢ₌₀ⁿ Bᵢₙ(t) · Pᵢ, t ∈ [0,1]其中 Bᵢₙ(t) 是 Bernstein 基函数。n 是次数，Pᵢ 是控制点。
Bezier 有个明显的缺点：移动一个控制点，整条曲线都会变。这在局部调整时很麻烦。后来有了 B 样条，它引入了“节点向量”的概念，让曲线有了局部支撑性。
| 曲线类型 | 局部控制 | 连续性 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| Bezier | 全局 | Cⁿ（内部） | 简单形状、字体设计 |
| B 样条 | 局部 | Cᵏ⁻¹（k 阶） | 复杂曲线、工业造型 |
| NURBS | 局部 + 权重 | Cᵏ⁻¹ | 精确圆锥曲线、汽车车身 |
NURBS 是 B 样条的升级版。它给每个控制点加了一个权重 wᵢ，能精确表示圆、椭圆这些圆锥曲线。我在做车身曲面时，NURBS 几乎是标配。
我的经验： 选曲线类型时，先问自己两个问题：需不需要局部调整？需不需要精确表示圆锥曲线？如果两个都是“是”，直接上 NURBS。
2.2 曲面连续性：G0、G1、G2
曲面拼接时，连续性是个关键指标。说白了，就是两块曲面在边界上“接得有多顺”。
- G0（位置连续）： 两块曲面在边界上重合。但方向可能突变，看起来有折痕。
- G1（切向连续）： 边界处的切平面方向一致。看起来光滑了，但高光反射可能有“断带”。
- G2（曲率连续）： 边界处的曲率也一致。高光反射连续，视觉上最顺眼。
我记得有一次做汽车尾灯曲面，供应商给的模型只保证了 G1。结果在光照下，高光带明显断了一截。后来我强制要求 G2，问题才解决。
避坑指南： 我曾经在消费电子产品上用了 G1 连续，结果模具抛光后，分模线处出现肉眼可见的“台阶”。后来才明白，G1 在数学上光滑，但实际加工时，曲率突变会导致刀具路径抖动。所以，能上 G2 就别省。
2.3 法向量与曲率计算
法向量和曲率是曲面分析的“眼睛”。法向量决定了光照反射的方向，曲率则告诉你曲面“弯得有多厉害”。
对于参数曲面 S(u,v)，法向量 N 的计算公式是：
N = (∂S/∂u) × (∂S/∂v) / ||(∂S/∂u) × (∂S/∂v)||曲率稍微复杂一点。我们通常用高斯曲率 K 和平均曲率 H 来评估曲面质量：
- 高斯曲率 K > 0： 曲面局部像球面（凸或凹）。
- 高斯曲率 K = 0： 曲面局部像圆柱面（可展开）。
- 高斯曲率 K < 0： 曲面局部像马鞍面（双曲点）。
你想想看，如果一块自由曲面上同时出现正曲率和负曲率区域，那高光反射就会扭曲。这在汽车外饰件上是绝对不允许的。
实用技巧： 调试时，我习惯用曲率梳（Curvature Comb）来检查曲线。如果曲率梳的线条突然抖动或断裂，那大概率是连续性出了问题。
2.4 知识体系总览
下面这张图把本章的核心概念串起来了。你可以把它当作一个快速索引。
2.5 本章小结
这一章的内容，说白了就是三件事：
- 选对曲线类型： Bezier 适合简单形状，B 样条适合局部控制，NURBS 是工业级选择。
- 保证连续性： G0 是底线，G1 是基本要求，G2 是品质追求。
- 用好曲率分析： 曲率梳和高斯曲率图是调试时的“照妖镜”。
嗯，这些概念后面会反复用到。尤其是调参数时，你一定会回来翻这一章。