3. 覆盖几何建模

卫星对地面的覆盖能力，本质上由一组相互约束的几何量决定。要建立点覆盖与区域覆盖的数学描述，必须先统一坐标系与角度约定。本节采用地心惯性系下的地心角描述：设卫星瞬时位置为 S，地面目标点为 P，两者与地心 O 构成的夹角 ∠SOP 即为地心角 λ。卫星到地心的距离为 r（约等于轨道半长轴），地球半径为 R_e（取 6378 km）。地心角是连接"卫星位置"与"地面可见性"的核心桥梁。

从卫星看地面，存在一个最大可视范围，由半视场角 θ 描述。若卫星载荷的视场半角为 θ，则卫星能看到的地面点满足：卫星到该点的连线与星地连线的夹角不超过 θ。更常用的是从地面看卫星的最小仰角 ε_min，即地面站观测卫星时，卫星方向与当地水平面的夹角下限。仰角过低会导致大气衰减大、遮挡多，工程上通常取 5°～10°。半视场角与最小仰角通过三角形几何相互换算，二者共同决定覆盖边界。

先建立星下点覆盖圆。卫星星下点是卫星与地心连线与地球表面的交点。以星下点为中心、以地心角 λ_max 为半径在地球球面上画出的圆，就是该卫星的瞬时覆盖圆。其边界由最小仰角条件确定。由正弦定理，在卫星 S、地心 O、覆盖边界点 B 构成的三角形中：

sin(ε_min + 90°) / r = sin(90° - ε_min - λ) / R_e
整理得：λ_max = arccos( R_e·cos(ε_min) / r ) - ε_min
其中 r = R_e + h，h 为卫星轨道高度。

以 h = 550 km、ε_min = 10° 为例：r = 6928 km，R_e/r = 0.9206，cos(10°) = 0.9848，乘积为 0.9066，arccos 得 24.96°，减去 10° 得 λ_max ≈ 14.96°。对应地面覆盖圆半径约为 R_e·λ_max（弧度）≈ 6378 × 0.2611 ≈ 1665 km。这说明一颗 550 km 高度的低轨卫星，单星瞬时覆盖直径约 3330 km，覆盖面积约 8.7×10⁶ km²。

再看半视场角与覆盖的关系。若从卫星载荷角度给出半视场角 θ，则覆盖边界满足卫星到边界点的视线与星下点方向夹角为 θ。此时地心角 λ 与 θ 的关系为：

sin(θ) = R_e·sin(λ) / r
即 λ = arcsin( r·sin(θ) / R_e ) - θ

当 θ 增大时，λ 增大，覆盖圆扩大，但边缘仰角降低。工程上常把 θ 与 ε_min 作为一对约束：给定 ε_min 可反推允许的最大 θ，反之亦然。二者不可同时任意放大，否则边缘点仰角会低于门限，通信质量无法保证。

对于点覆盖，数学描述为：目标点 P 被卫星覆盖，当且仅当 P 与星下点之间的地心角 λ_P ≤ λ_max。即：

λ_P = arccos( sin(φ_s)·sin(φ_p) + cos(φ_s)·cos(φ_p)·cos(Δλ) ) ≤ λ_max
其中 φ_s、φ_p 为星下点与目标点纬度，Δλ 为经度差。

对于区域覆盖，需要判断一个区域是否被完全覆盖。常用方法是将区域离散为网格点，逐点判断 λ_P ≤ λ_max；或计算区域边界上离星下点最远的点，若该点满足条件，则整个凸区域被覆盖。区域覆盖的数学描述可写为：

区域 A 被覆盖 ⇔ max_{P∈A} λ_P ≤ λ_max
等价于：星下点到区域边界的最远地心角 ≤ λ_max

最后引入覆盖带宽度。当卫星沿轨道运动时，星下点轨迹在地面上形成一条曲线，覆盖圆沿轨迹扫过形成一条覆盖带。覆盖带宽度 W 与覆盖圆半径和轨道倾角有关。对于近圆轨道，若覆盖圆半径为 R_c，则覆盖带在赤道附近的半宽约为 R_c，但实际宽度受轨道倾角 i 影响：

W ≈ 2·R_e·λ_max·sin(i)   （近似，适用于小覆盖圆）

更精确地，覆盖带边界由星下点轨迹两侧各 λ_max 的地心角确定。若轨道倾角为 i，则覆盖带在纬度方向上的最大覆盖范围可表示为：

纬度覆盖上限 ≈ i + λ_max
纬度覆盖下限 ≈ -i - λ_max

这意味着，倾角 53° 的轨道，配合 λ_max ≈ 15°，其覆盖带可覆盖南北纬约 68° 以内的区域。若目标区域位于更高纬度，则需增大倾角或提高轨道高度以扩大 λ_max。

下面用一张几何关系图汇总上述核心量：地心角 λ、半视场角 θ、最小仰角 ε_min、星下点覆盖圆半径 R_c 与覆盖带宽度 W 之间的相互约束。

该图把卫星 S、地心 O、星下点 N、覆盖边界点 B 四者构成的几何关系集中呈现。从图中可读出：地心角 λ 是星下点方向与边界点方向之间的夹角；半视场角 θ 是卫星视线与星下点方向的夹角；最小仰角 ε_min 是边界点处视线与当地水平面的夹角。三者通过三角形 O-S-B 的边角关系耦合，任一个变化都会改变覆盖圆半径 R_c，进而改变覆盖带宽度 W。实际建模时，只要固定其中两个量，第三个量即可由公式唯一确定，从而保证点覆盖判断与区域覆盖分析使用同一套几何参数。