3. 姿态运动学与轨道运动学

姿轨联合控制系统的输入输出，最终都要落到“姿态怎么描述”和“轨道怎么描述”这两套数学语言上。姿态运动学回答的是：本体坐标系相对参考坐标系转了多少、怎么转；轨道运动学回答的是：航天器质心在惯性空间中沿什么轨迹运动、由哪些参数决定。两者在控制器里通过推力方向和力矩方向耦合在一起，因此必须先统一描述方式，再谈控制律设计。

一、姿态描述：三种等价但用途不同的语言

设参考坐标系为 O-X_IY_IZ_I，本体坐标系为 O-X_bY_bZ_b，两者原点重合、仅姿态不同。姿态就是这两个坐标系之间的旋转关系，常用三种方式描述。

方向余弦矩阵（DCM）：把本体轴在参考系中的三个单位矢量按列排成 3×3 矩阵 C_bi，其元素就是两坐标系各轴之间的方向余弦。它满足正交性 C^TC=I、det(C)=+1，矢量变换写作 v_b=C_biv_i。DCM 无奇异、可直接做矢量投影，但含 9 个参数、6 个约束，数值积分时需反复正交化，适合做坐标变换与误差评估，不适合直接作为控制状态。

欧拉角：用三次有序转动描述姿态，如航天器常用的 3-2-1 转序（偏航 ψ、俯仰 θ、滚转 φ）。其 DCM 为

C_bi = R_x(φ)·R_y(θ)·R_z(ψ)
     = [ cθcψ            cθsψ           -sθ
         sφsθcψ-cφsψ     sφsθsψ+cφcψ    sφcθ
         cφsθcψ+sφsψ     cφsθsψ-sφcψ    cφcθ ]

欧拉角物理直观、便于人机交互与任务规划，但在 θ=±90° 处出现万向节死锁，且三角函数运算量大，不适合大角度机动的实时递推。

四元数：用单位四元数 q=[q₀, q₁, q₂, q₃]^T 表示绕单位轴 e 转 Φ 的旋转，q₀=cos(Φ/2)，[q₁,q₂,q₃]=esin(Φ/2)。姿态运动学方程为

q̇ = 0.5 · q ⊗ [0, ω_b]ᵀ
   = 0.5 · Ω(ω_b) · q

其中 ω_b 为本体系角速度。四元数只有 4 个参数、1 个范数约束，无奇异，递推时只需归一化，是姿态确定与控制的默认状态量。三者关系为：由 q 可唯一算出 C_bi，由 C_bi 可反解欧拉角；工程上常以四元数积分、以 DCM 做变换、以欧拉角做显示与判读。

二、二体问题与轨道六根数

把地球视为质点、忽略其他作用力，航天器质心运动满足二体方程 r̈ = −μr/|r|³，μ=GM≈3.986×10¹⁴ m³/s²。该方程存在解析解：轨道是圆锥曲线，由六个独立常数完全确定，即轨道六根数。

给定某时刻惯性系位置 r 与速度 v，可按下列顺序解算六根数：先由比角动量 h=r×v 得倾角 i=arccos(h_z/|h|) 与升交点赤经 Ω=arctan2(h_x, −h_y)；再由偏心率矢量 e=[(v·v−μ/|r|)r−(r·v)v]/μ 得 e=|e| 与近地点幅角 ω；最后由能量 ε=v²/2−μ/r 得 a=−μ/(2ε)，由 r·e 关系得真近点角 ν。例如取 r=[7000, 0, 0] km、v=[0, 7.5, 1.0] km/s，可算得 a≈7.42×10³ km、e≈0.03、i≈7.6°，属于近圆低轨，周期约 106 min。这些数值属于教学示例，实际任务需用精密星历与摄动模型修正。

六根数的工程意义在于：a、e 决定轨道能量与形状，i、Ω 决定轨道面在惯性空间的朝向，ω、ν 决定航天器在轨道面内的位置。姿轨联合控制中，轨道机动改变的是 a、e、i、Ω、ω，而姿态控制保证推力方向与期望的 Δv 方向一致，两者通过“推力矢量在本体系的指向”耦合。

三、摄动运动方程：从理想轨道到真实轨道

真实航天器还受地球非球形引力（主要是 J₂ 项）、大气阻力、太阳光压、第三体引力等作用，二体解不再严格成立。工程上采用“根数变分”思路：仍用六根数描述瞬时轨道，但令其随时间缓变，得到摄动运动方程。以 J₂ 摄动为例，一阶长期项为

Ω̇ = -1.5 · J₂ · n · (R_e/p)² · cos i
ω̇ =  0.75 · J₂ · n · (R_e/p)² · (5cos²i - 1)
Ṁ  =  n + 0.75 · J₂ · n · (R_e/p)² · √(1-e²) · (3cos²i - 1)

其中 n=√(μ/a³) 为平均角速度，p=a(1−e²)，R_e=6378 km，J₂≈1.0826×10⁻³。对 i=98° 的太阳同步轨道，Ω̇ 约为 +0.9856°/天，正好补偿地球公转，使轨道面与太阳夹角近似恒定；对 i=0° 的地球静止轨道，Ω̇≈0，轨道面稳定。这些长期项是轨道保持与星座相位维持的计算基础。

把两套运动学放在一起看：姿态运动学给出本体系角速度到姿态参数的映射，轨道运动学给出惯性系位置速度到轨道参数的映射；姿轨联合控制的任务，就是在每个控制周期内，由期望轨道与当前轨道之差生成期望推力方向，再由期望推力方向与当前姿态之差生成力矩指令，最终通过执行机构同时改变轨道根数与姿态参数。理解本节三种姿态表示与六根数、摄动方程，是后续建立姿轨耦合动力学模型和设计控制律的前提。