3. 相对运动方程推导

在交会接近轨迹设计中，描述追踪航天器相对于目标航天器的运动是核心问题。直接使用两个航天器的绝对轨道动力学方程进行差分会引入大量非线性项，不利于解析分析和制导律设计。因此，工程上通常采用相对运动方程，其中最具代表性的是Clohessy-Wiltshire（CW）方程和Tschauner-Hempel（TH）方程。本节从坐标系定义出发，逐步推导这两个方程，并明确其假设条件、适用边界与物理意义。

一、坐标系与相对位置定义

建立以目标航天器质心为原点的当地轨道坐标系（LVLH，Local Vertical Local Horizontal）：

• x轴：沿目标航天器地心矢径方向，指向地心为负，通常取背离地心为正（径向）。
• z轴：沿目标航天器轨道面法线方向，与轨道角动量方向一致（法向）。
• y轴：在轨道面内与x、z构成右手系，指向目标航天器运动方向（切向/沿迹方向）。

设追踪航天器相对目标的位置矢量为 r = [x, y, z]^T，目标航天器在圆轨道上以角速度 n 运行。全文正负号约定：x正向为径向向外，y正向为沿迹向前，z正向为轨道法向，后续推导与图示均保持一致。

二、CW方程的推导

CW方程由Clohessy和Wiltshire于1960年提出，其核心假设为：

1. 目标航天器运行在近圆轨道上，偏心率 e ≈ 0；
2. 两航天器间距离远小于轨道半径，即 |r| ≪ R；
3. 地球为均质球体，忽略大气阻力、太阳光压和第三体引力等摄动；
4. 目标轨道角速度 n 为常数。

在LVLH坐标系中，追踪航天器的绝对加速度可表示为相对加速度与牵连加速度之和。将牛顿引力加速度在目标航天器附近作一阶泰勒展开，并代入相对运动关系，可得线性化后的相对运动方程：

ẍ - 2nẏ - 3n²x = 0
ÿ + 2nẋ = 0
z̈ + n²z = 0

其中第一式描述径向运动，第二式描述沿迹运动，第三式描述法向运动。可以看出，径向与沿迹运动通过科氏加速度项（2nẏ、2nẋ）耦合，而法向运动独立，表现为频率为 n 的简谐振荡。

CW方程存在解析解。给定初始相对位置和速度，可写出状态转移矩阵形式。例如，沿迹方向在特定初始条件下可实现周期为 T = 2π/n 的绕飞椭圆，这是交会任务中自然绕飞轨迹的基础。

三、TH方程的推导

当目标航天器运行在椭圆轨道上时，轨道角速度不再是常数，CW方程的假设不再成立。Tschauner和Hempel于1965年将相对运动方程推广到椭圆轨道情形，引入真近点角 θ 作为自变量，得到TH方程：

x'' - 2y'/(1+ecosθ) - 3x/(1+ecosθ)² = 0
y'' + 2x'/(1+ecosθ) = 0
z'' + z/(1+ecosθ) = 0

其中 ( )' 表示对真近点角 θ 的导数，e 为目标轨道偏心率。当 e = 0 时，TH方程退化为CW方程，说明CW方程是TH方程在圆轨道下的特例。

TH方程的系数随 θ 变化，属于线性变系数微分方程。虽然不存在像CW方程那样简洁的常系数状态转移矩阵，但可通过引入变换或数值积分求解。工程上常采用θ域内的状态转移矩阵进行递推，或使用Lawden解等解析形式。

四、适用条件与物理意义对比

两个方程的适用边界和物理内涵有明显差异，下表给出关键对比：

从物理意义上看，CW方程中的 -3n²x 项体现了地球引力梯度在径向的线性化效应，2nẏ 和 2nẋ 项体现了科氏加速度对相对运动的耦合作用。TH方程则进一步考虑了轨道角速度随真近点角的变化，能够更准确地描述椭圆轨道上的相对运动，尤其是在近地点附近角速度大、远地点附近角速度小的非均匀特性。

五、推导中的关键步骤与常见误区

推导CW方程时，容易忽略的一步是：在LVLH坐标系中，追踪航天器的绝对加速度需要加上牵连加速度和科氏加速度。具体地，若目标航天器角速度为 ω，则：

a_abs = a_rel + 2ω × v_rel + ω × (ω × r) + a_target

其中 a_target 为目标航天器的绝对加速度。将引力加速度在目标附近展开并保留一阶项，才能得到线性化的相对运动方程。若直接忽略牵连项或错误处理科氏项符号，会导致沿迹方向出现错误的漂移趋势。

另一个常见误区是混淆真近点角 θ 与时间 t 的关系。TH方程以 θ 为自变量，而 θ 与 t 之间通过轨道方程联系，不能简单地将 θ 视为均匀变化的时间变量。在数值积分时，需要同时积分 θ 的演化方程。

理解这两个方程的推导逻辑和适用边界，是后续设计交会接近轨迹、选择制导策略和评估误差的基础。在实际任务中，应根据目标轨道偏心率、相对距离和任务精度要求，合理选择CW方程或TH方程，必要时结合数值积分进行校验。