2. 姿态描述与坐标系

航天器姿态控制的第一步，是回答“相对于谁、用什么量、怎样描述”这三个问题。姿态本身不是绝对量，它总是两个坐标系之间的相对取向。因此本节先建立三套基本坐标系，再依次介绍方向余弦矩阵、欧拉角、四元数和罗德里格参数四种描述方式，并给出它们之间的转换关系。理解这些工具的分工，是后续设计机动律与指向控制的基础。

一、三套基本坐标系

惯性系是姿态运动的绝对参考。工程上常用 J2000 地心惯性系：原点在地心，X 轴指向 J2000 历元平春分点，Z 轴沿该历元平北极方向，Y 轴按右手法则补齐。它的坐标轴在惯性空间中不随时间转动，因此牛顿角动量方程只在此系中成立，陀螺测量、轨道递推和星敏感器定姿都以它为最终基准。

轨道系随航天器质心沿轨道运动，是姿态指向任务的直接参考。以圆轨道为例，原点取在航天器质心，Z 轴指向地心（对地定向），X 轴沿轨道速度方向，Y 轴垂直于轨道面并与轨道角速度方向一致，构成右手系。对地观测、对日定向、测控天线指向等任务，通常把期望姿态定义在轨道系中，再换算到惯性系。

本体系固连在航天器结构上，原点一般取在质心，三轴与主惯量轴或结构基准轴对齐。星敏感器、陀螺、动量轮、推力器的安装矩阵都相对本体系给出。姿态控制真正要确定和保持的，就是本体系相对参考系（惯性系或轨道系）的取向。

二、方向余弦矩阵

设某矢量在参考系中的分量为 v，在本体系中的分量为 v_b，则存在矩阵 C_bi 使 v_b = C_bi v。该矩阵的第 i 行第 j 列元素，就是本体系第 i 轴与参考系第 j 轴夹角的余弦，故称方向余弦矩阵。它是正交矩阵，满足 C^TC = I，行列式为 +1，逆矩阵等于转置。

方向余弦矩阵的优点是线性、无奇异、可直接对矢量做坐标变换，且连续旋转只需矩阵相乘。缺点是九个元素中只有三个独立，冗余度高，数值积分时正交性会漂移，需要定期重正交化。它常作为其他参数转换的中间桥梁。

三、欧拉角

欧拉角用三次绕坐标轴的转动描述姿态，直观且便于人机交互。航天器姿态常用 3-2-1 顺序：先绕 Z 轴转偏航角 ψ，再绕新 Y 轴转俯仰角 θ，最后绕新 X 轴转滚转角 φ。对应的方向余弦矩阵为

C_bi = R_x(φ) · R_y(θ) · R_z(ψ)

     [ cθcψ            cθsψ           -sθ   ]
   = [ sφsθcψ - cφsψ   sφsθsψ + cφcψ  sφcθ ]
     [ cφsθcψ + sφsψ   cφsθsψ - sφcψ  cφcθ ]

其中 c 表示 cos，s 表示 sin。由矩阵反解欧拉角时，θ = arcsin(−C₃₁)，φ 与 ψ 由 C₃₂、C₃₃ 和 C₂₁、C₁₁ 的反正切给出。当 θ = ±90° 时出现万向节死锁，φ 与 ψ 无法分离，这是欧拉角在大角度机动中的固有缺陷。

四、四元数

四元数用四个参数 q = [q₀, q₁, q₂, q₃]^T 描述绕单位轴 e 转过角度 Φ 的旋转：q₀ = cos(Φ/2)，[q₁, q₂, q₃]^T = e sin(Φ/2)，且满足归一化约束 q₀²+q₁²+q₂²+q₃² = 1。它没有奇异点，运动学方程线性，乘法运算量小，是星上姿态确定与控制最常用的表示。

由四元数构造方向余弦矩阵：

C_bi =
[ 1-2(q2²+q3²)   2(q1q2+q0q3)   2(q1q3-q0q2) ]
[ 2(q1q2-q0q3)   1-2(q1²+q3²)   2(q2q3+q0q1) ]
[ 2(q1q3+q0q2)   2(q2q3-q0q1)   1-2(q1²+q2²) ]

注意 q 与 −q 表示同一姿态，这是四元数的双覆盖特性。姿态误差四元数通常取标量部分非负的那一组，以避免控制指令反向。

五、罗德里格参数

罗德里格参数（Gibbs 矢量）定义为 g = e tan(Φ/2)，只有三个分量，是四元数矢量部分与标量部分之比。它比四元数少一个参数，且在小角度时近似等于半角矢量，便于线性化分析。缺点是当 Φ 趋近 180° 时 tan(Φ/2) 发散，出现奇异，因此适合中小角度机动或作为误差度量。

由罗德里格参数构造方向余弦矩阵：

C = (I - [g×])⁻¹ (I + [g×])
  = I + 2/(1+gᵀg) · ([g×] + [g×]²)

其中 [g×] 为由 g 构成的反对称矩阵。四元数与罗德里格参数的换算为 g = [q₁, q₂, q₃]^T / q₀，反向为 q₀ = 1/√(1+gᵀg)，矢量部分 = g q₀。

六、四种描述的对比与选用

实际使用中，一个典型流程是：星敏感器与陀螺组合定姿，输出本体系相对惯性系的四元数；根据轨道递推得到轨道系相对惯性系的四元数；两者相除得到本体系相对轨道系的姿态误差；将误差转为罗德里格参数送入控制律计算力矩；地面监控界面再把四元数转成欧拉角显示给操作人员。整条链路中，只要约定好旋转顺序、正负号和参考系，四种描述就能无缝衔接。