1. 课程导入与姿态描述基础

航天器姿态估计的一切讨论，都建立在“姿态是什么、用什么数学量描述、不同描述之间如何换算”这三个问题上。如果坐标系定义含糊、旋转方向约定不一致，后续的陀螺积分、星敏感器量测、卡尔曼滤波残差都会出现难以定位的符号错误。本章先把这套数学语言统一起来，为传感器融合与估计打下基础。

一、姿态的定义与参考坐标系

姿态（attitude）描述的是航天器本体相对于某个参考基准的角位置关系，它是一个相对量，脱离参考系谈姿态没有意义。工程上通常用两组坐标系来定义这个关系：

• 参考坐标系：如地心惯性系（ECI，J2000）、轨道坐标系（LVLH，原点在航天器质心，Z轴指向地心，X轴沿轨道速度方向，Y轴按右手定则补全）。
• 本体坐标系：固连在航天器上，原点取质心，三轴与星体主惯量轴或结构基准轴对齐，例如+X为飞行方向、+Z为对地面。

姿态就是本体坐标系三轴在参考坐标系中的指向。这里必须固定一条约定：本文及后续章节统一采用右手坐标系，旋转正方向按右手定则判定，即绕某轴正向旋转时，从该轴正端看向原点为逆时针。所有传感器安装矩阵、执行机构极性都以此为准。

二、方向余弦矩阵

设参考系为 n 系，本体系为 b 系。把 b 系三个单位轴在 n 系中的分量按列排成矩阵，就得到方向余弦矩阵（DCM）C_bn，它把本体系下的矢量坐标变换到参考系：vⁿ = C_bn v^b。DCM 是 3×3 正交矩阵，满足 C^TC = I、det(C) = +1，逆变换就是转置：C_nb = C_bn^T。

DCM 的优点是物理意义直观、矢量变换无奇异，缺点是 9 个元素只有 3 个自由度，直接积分会因数值误差破坏正交性，需要周期性重正交化（如 Gram-Schmidt 或 SVD 修正）。

三、欧拉角与四元数

欧拉角用三次绕坐标轴的转动描述姿态，最常用的是 3-2-1 顺序（偏航 ψ、俯仰 θ、滚转 φ）。它直观、便于人机交互，但存在万向节死锁：当 θ = ±90° 时，ψ 与 φ 的转轴重合，解不唯一。因此欧拉角适合显示与设定，不适合作为滤波器的内部状态。

四元数用四个参数 q = [q₀, q₁, q₂, q₃]^T 表示绕单位轴 e 转角度 α 的旋转，其中 q₀ = cos(α/2) 为标量部，[q₁,q₂,q₃]^T = e·sin(α/2) 为矢量部，且满足归一化约束 ‖q‖ = 1。四元数无奇异、运算量小，姿态运动学可写成线性微分方程：

q̇ = 0.5 * q ⊗ [0, ωx, ωy, ωz]^T

其中 ω 为本体系下的角速度，⊗ 为四元数乘法。这正是陀螺积分递推的核心公式，也是后续姿态估计器状态传播的基础。

四、三种表示的相互转换

三种表示之间的换算关系必须熟练掌握。由 3-2-1 欧拉角构造 DCM：

C_bn = Rz(ψ)·Ry(θ)·Rx(φ)
     = [ cθcψ,  cθsψ, -sθ;
         sφsθcψ-cφsψ, sφsθsψ+cφcψ, sφcθ;
         cφsθcψ+sφsψ, cφsθsψ-sφcψ, cφcθ ]

由 DCM 反解欧拉角时，θ = -arcsin(C₁₃)，ψ 与 φ 由 C₁₁、C₁₂、C₂₃、C₃₃ 用 atan2 求得，避免象限歧义。四元数与 DCM 的关系为：

C_bn = [ 1-2(q2²+q3²),  2(q1q2-q0q3),  2(q1q3+q0q2);
         2(q1q2+q0q3),  1-2(q1²+q3²),  2(q2q3-q0q1);
         2(q1q3-q0q2),  2(q2q3+q0q1),  1-2(q1²+q2²) ]

反向由 DCM 提取四元数时，取迹 tr(C) = 4q₀²-1，先算 q₀ = 0.5√(1+tr(C))，再按对角线元素大小选择数值稳定的分支求矢量部，避免除以接近零的量。

五、姿态描述与传感器融合的衔接

把上述语言放到传感器融合的语境中：陀螺输出本体系角速度 ω，用于四元数运动学递推；星敏感器输出的是本体系相对惯性系的姿态四元数或 DCM；太阳敏感器、磁强计给出的是本体系下的矢量方向，需与参考系中的已知矢量比对才能形成姿态约束。所有这些量测最终都要统一到同一参考系、同一姿态表示下，才能构造残差并送入估计器。

下面这张图给出三种姿态表示之间的转换关系，以及它们与传感器数据流的衔接位置，可作为后续章节反复查阅的“数学语言地图”。

从图中可以看到，陀螺提供的是运动学递推的输入，星敏感器与矢量敏感器提供的是量测约束，而 DCM、欧拉角、四元数只是同一姿态的不同“方言”。在后续章节中，滤波器内部状态通常采用四元数，量测模型则根据敏感器类型写成 DCM 或矢量形式，最终输出给姿控系统时再转成欧拉角或四元数指令。把这三者的转换关系与数据流位置记牢，是读懂后续所有估计器结构的前提。