3. 星间几何与距离计算

星间链路预算的第一步不是算天线增益，而是先回答一个几何问题：两颗卫星此刻相距多远？这个距离决定了自由空间损耗，也决定了链路是否可见。星间距离不是常数，它随轨道参数、两星相对位置和时间持续变化。本节围绕四个问题展开：轨道参数如何影响星间距离、如何判断星间可见性、如何对距离随时间变化建模，以及工程上如何在最坏情况距离与动态距离之间取舍。

一、轨道参数如何决定星间距离

先约定参照系：本节所有距离均在以地心为原点的地心惯性系（ECI）中计算，位置矢量记作 r，单位为 km。两颗卫星 A、B 的瞬时距离为 d = |r_B − r_A|。影响 d 的轨道参数主要有四个：半长轴 a（决定轨道高度与周期）、偏心率 e（决定轨道形状）、轨道倾角 i 与升交点赤经 Ω（决定轨道面朝向）、以及两星在各自轨道上的相位角 u（决定瞬时位置）。

直观上可以分三层理解。第一层是轨道高度：两颗卫星高度越接近，最小可能距离越小；高度差越大，最近距离的下限越大。第二层是轨道面夹角：同轨道面内两星距离主要由相位差决定，最近可接近到几十公里；而两个轨道面夹角为 Δi 时，即使相位对齐，两星在交点附近仍会因轨道面分离而保持一定距离。第三层是相位：在轨道面关系固定后，相位差是距离随时间变化的主导因素。

举一个教学示例（参数为合理假设，非实测）：卫星 A 为 550 km 太阳同步轨道，a≈6928 km，i≈97.6°；卫星 B 为 550 km 轨道、i≈53°，两轨道面夹角约 44.6°。当两星同时经过升交点附近时，距离约为 2·a·sin(Δi/2)≈2×6928×sin(22.3°)≈5250 km。这说明轨道面夹角是决定最小距离量级的关键参数，而不是高度。

二、星间可见性判断

可见性判断要同时满足两个条件。其一是几何可见：连接两星的直线不穿过地球。设地心到该直线的最近距离为 p，地球半径为 R_e（取 6378 km），加一层大气余量 h_atm（工程上常取 80～100 km），则几何可见条件为 p ≥ R_e + h_atm。其二是天线可见：两星相对矢量必须落在对方天线波束覆盖范围内，即离轴角小于半波束宽度。

p 的计算可直接用矢量公式：p = |r_A × r_B| / |r_B − r_A|。当 p 小于门限时，链路被地球遮挡，此时无论天线增益多高都无法建立链路。工程实现中通常把可见性判断写成逐时刻的布尔序列，再与天线指向约束求交集，得到真正的可通信时间窗。

三、距离随时间变化的建模

距离随时间变化建模有三种常用粒度。第一种是解析法：对圆轨道，用两星的轨道根数直接写出 r_A(t)、r_B(t)，再求模。第二种是数值递推：用 SGP4 等模型按固定步长输出两星 ECI 位置，逐点计算距离。第三种是采样拟合：在可见窗口内采样若干点，用多项式或正弦叠加拟合 d(t)，便于链路预算快速调用。

下面给出一个可直接运行的最小计算片段，用于输出一个可见窗口内的距离序列：

import numpy as np

Re = 6378.0          # 地球半径 km
h_atm = 100.0        # 大气余量 km
mu = 398600.4418     # 地球引力常数 km^3/s^2

def eci_pos(a, e, i, raan, u):
    # 简化圆轨道：e 取 0，u 为纬度幅角
    r = a
    x = r*(np.cos(raan)*np.cos(u) - np.sin(raan)*np.sin(u)*np.cos(i))
    y = r*(np.sin(raan)*np.cos(u) + np.cos(raan)*np.sin(u)*np.cos(i))
    z = r*(np.sin(u)*np.sin(i))
    return np.array([x, y, z])

def link_geometry(rA, rB):
    d = np.linalg.norm(rB - rA)
    p = np.linalg.norm(np.cross(rA, rB)) / d
    visible = p >= (Re + h_atm)
    return d, p, visible

# 示例：两星 550 km 圆轨道，轨道面夹角约 44.6 度
a = Re + 550.0
iA, iB = np.radians(97.6), np.radians(53.0)
raanA, raanB = 0.0, 0.0
n = np.sqrt(mu / a**3)   # 平均角速度 rad/s

for t in range(0, 5400, 300):        # 90 分钟，步长 300 s
    uA = n * t
    uB = n * t + np.radians(30)      # B 相对 A 相位超前 30 度
    rA = eci_pos(a, 0, iA, raanA, uA)
    rB = eci_pos(a, 0, iB, raanB, uB)
    d, p, vis = link_geometry(rA, rB)
    print(f"t={t:5d}s  d={d:8.1f}km  p={p:8.1f}km  visible={vis}")

运行后可以观察三个量：d 在几千公里量级波动，p 在遮挡区会降到 6478 km 以下，visible 随之在 True/False 之间切换。把 d 序列画出来，就能看到距离随相位差近似周期性变化，周期与两星相对角速度有关。

四、最坏情况距离与动态距离的取舍

链路预算中，距离的取值方式直接影响设计余量。最坏情况距离法取整个任务周期内可能出现的最大 d_max，用它算一次自由空间损耗，设计简单、余量保守，但会高估损耗、浪费功率。动态距离法则按时间序列逐点使用真实 d(t)，损耗更准确，但需要存储或实时计算轨道数据，复杂度更高。

工程取舍可参考以下判断：若链路只在固定窗口工作、且窗口内距离变化小于 20%，用最坏情况距离即可；若距离变化超过 2 倍（对应损耗变化约 6 dB），或系统对功率、速率敏感，则应采用动态距离，至少按窗口分段取几个代表值。一个实用的折中是“分段最坏情况”：把可见窗口按距离变化分成 3～5 段，每段取该段最大距离，既保留余量又减少计算量。

小结本节的关键操作链：先用轨道根数写出两星 ECI 位置，计算 d 与 p，用 p ≥ R_e + h_atm 判断几何可见，再叠加天线波束约束得到可通信窗口；最后根据距离变化幅度选择最坏情况、分段或动态距离策略。距离算得准，后面的损耗、增益和余量才有意义。