3. 碰撞几何与安全间隔度量
在多无人系统（无人机、无人车、无人艇等）的碰撞避免问题中，仅凭“距离近不近”来判断风险是不够的。两架无人机可能相距 80 m，但若它们正以 15 m/s 的相对速度对头接近，风险远高于相距 40 m 但同向平行飞行的情形。因此，碰撞避免的核心不是单一的距离阈值，而是一组几何度量：碰撞锥刻画“是否会撞”，最近接近点刻画“最近会到多近”，最小安全距离刻画“允许多近”，安全区域建模则刻画“把谁当成多大一个物体”。本节围绕这四个概念展开，并给出可计算的实现方式。
一、碰撞锥：把“会撞”变成角度判据
碰撞锥（Collision Cone, CC）的基本思想是：把本机视为质点，把障碍/他机膨胀为一个半径等于两者安全半径之和的圆（球），则所有会导致碰撞的相对速度方向构成一个以本机为顶点、以他机为中心的锥形区域。设本机位置为 p_A，他机位置为 p_B，相对位置 p = p_B − p_A，相对速度 v = v_B − v_A，膨胀半径 R = r_A + r_B。若存在 t ≥ 0 使 |p + v·t| ≤ R，则相对速度 v 落在碰撞锥内。
工程上更常用的是角度判据：设相对位置方向角为 θ_p，相对速度方向角为 θ_v，则当 |θ_v − θ_p| ≤ α 时存在碰撞风险，其中 α = arcsin(R / |p|) 为碰撞锥半角。这个判据计算量极小，适合机载实时运行。需要注意：α 随距离减小而增大，因此“远处擦边”和“近处擦边”的风险等级完全不同，这正是碰撞锥比固定距离阈值更合理的地方。
二、最近接近点（CPA）与最小安全距离
最近接近点（Closest Point of Approach, CPA）回答的是“如果双方都不改变运动，最近会接近到多少”。在匀速直线假设下，最近接近时间 t_cpa 与最近距离 d_cpa 有闭式解：
p = p_B - p_A # 相对位置
v = v_B - v_A # 相对速度
t_cpa = -(p · v) / (v · v) # 若 t_cpa < 0，说明正在远离
d_cpa = |p + v · t_cpa| # 最近接近距离以两架四旋翼为例：A 位于 (0, 0, 100)，速度 (10, 0, 0) m/s；B 位于 (200, 30, 100)，速度 (−10, 0, 0) m/s。则 p = (200, 30, 0)，v = (−20, 0, 0)，t_cpa = 10 s，d_cpa = 30 m。若设定最小安全距离 d_safe = 50 m，则 d_cpa < d_safe，必须在 t_cpa 之前完成规避。这里 d_safe 不是随意取的，通常由定位误差、控制跟踪误差、通信延迟、风扰漂移共同决定，例如：定位误差 2 m + 跟踪误差 3 m + 延迟导致的额外位移 5 m + 安全裕度 40 m = 50 m。
t_cpa，若 t_cpa < 0 则双方正在远离，无需动作；若 t_cpa ≥ 0 且 d_cpa < d_safe，再结合碰撞锥判断是否需要立即机动。两者结合可避免“距离近但正在远离”的误报。三、椭球与多面体安全区域建模
把无人系统当成一个点或一个球，在多数场景下过于保守或过于乐观。真实机体往往是非对称的：固定翼无人机翼展远大于机身厚度，无人车长度大于宽度。此时用椭球或多面体描述安全区域更精确。
椭球安全区域用一个二次型定义：(x − c)ᵀ Q (x − c) ≤ 1，其中 c 为中心，Q 为对称正定矩阵，其逆的特征值对应各轴半轴长的平方倒数。若机体沿 x、y、z 的半轴为 (a, b, c)，则 Q = diag(1/a², 1/b², 1/c²)。两椭球之间的碰撞检测可转化为求解两二次型的最小值问题，工程上常用 GJK 或采样近似。
多面体安全区域则用一组半空间交集表示：A x ≤ b。它的优势是能精确描述长方体、棱柱、凸包等形状，且与线性规划、模型预测控制天然兼容。例如把一架无人机的安全区域建模为长 2 m、宽 2 m、高 0.5 m 的长方体，只需 6 个半空间约束。多面体之间的碰撞检测可归结为线性可行性问题，计算稳定、易于嵌入优化求解器。
四、把度量串成可执行的判断逻辑
实际系统中，上述四个概念通常按以下顺序使用。第一步，用椭球或多面体描述本机与他机的安全区域，得到等效膨胀半径或半空间约束。第二步，计算相对位置与相对速度，求 t_cpa 与 d_cpa。第三步，用碰撞锥半角 α 判断相对速度方向是否指向危险区。第四步，将 d_cpa 与 d_safe 比较，并结合 t_cpa 剩余时间划分风险等级。
| 条件 | 几何含义 | 建议动作 |
|---|---|---|
| t_cpa < 0 | 双方正在远离 | 保持当前航迹，继续监视 |
| d_cpa ≥ d_safe | 最近距离仍安全 | 保持，降低监视频率 |
| d_cpa < d_safe 且 t_cpa > 10 s | 存在风险但时间充裕 | 提前规划平滑规避 |
| d_cpa < d_safe 且 t_cpa ≤ 10 s | 风险紧迫 | 立即机动，优先改变相对速度方向 |
需要强调的是，d_safe 的取值必须与安全区域模型一致。若用球形膨胀，d_safe 应包含两机最大外接半径；若用椭球或多面体，则 d_safe 可只保留定位与控制误差裕度，从而减少不必要的规避机动。这也是精确几何建模的实际价值：它让安全间隔既不过于保守导致频繁避让，也不过于激进导致漏判。
d_safe = 50 m，看似安全，但若 t_cpa = 2 s、d_cpa = 8 m，则已处于紧急状态。判断必须同时看“现在多远”和“最近会多近”。小结：碰撞锥给出方向判据，CPA 给出时间与距离判据，最小安全距离给出阈值判据，椭球与多面体给出形状判据。四者组合，才能把“会不会撞、多近算危险、什么时候必须动”转化为可计算、可复现、可嵌入实时系统的几何度量。