2. 搜索与覆盖问题的数学建模

多无人系统协同搜索与覆盖的核心困难，并不在于“让无人机飞起来”，而在于把“哪里可能有人”“哪里已经搜过”“下一步该往哪飞”这些模糊判断，转化为可计算、可比较、可优化的数学对象。本节围绕五个建模要素展开：环境栅格化、概率地图、覆盖函数、搜索收益、约束条件与优化目标。它们共同构成一个从物理空间到决策变量的映射链条。

一、环境栅格化：把连续空间离散为可计算单元

搜索区域通常是连续平面，而无人系统的路径规划、概率更新和收益计算更适合在离散结构上进行。栅格化就是把任务区域划分为规则网格，每个格子成为一个基本决策单元。设区域在东西方向跨度为 W 米、南北方向跨度为 H 米，栅格分辨率为 r 米，则栅格数量为：

Nx = ceil(W / r)
Ny = ceil(H / r)
N  = Nx × Ny

例如，任务区域为 2000 m × 1500 m，若取 r = 50 m，则得到 40 × 30 = 1200 个栅格。分辨率的选择直接影响建模精度与计算量：r 越小，对目标位置和覆盖边界的描述越精细，但状态空间和协同规划的计算负担也越大。工程上常根据传感器探测距离、目标最小尺寸和机群规模折中选取，例如探测半径 300 m 时，取 50～100 m 栅格通常已能保留主要空间特征。

每个栅格需要赋予若干属性：几何中心坐标 (x_i, y_i)、面积 A_i、是否可通行、是否属于禁飞区、初始目标存在概率 p_i(0)、以及被传感器覆盖时的探测概率 q_i。栅格化不是简单画格子，而是把地形、威胁、目标先验和传感器特性统一挂接到同一索引体系上，使后续所有计算都能以栅格编号为键进行。

二、概率地图：用信念描述“目标可能在哪里”

搜索问题的不确定性集中体现在目标位置上。概率地图为每个栅格维护一个目标存在概率 p_i(k)，表示到第 k 步为止，目标位于栅格 i 的信念程度。初始时刻由情报、地形、历史活动规律给出先验，满足：

Σ p_i(0) = 1，  0 ≤ p_i(0) ≤ 1

当无人系统对栅格 i 执行一次探测且未发现目标时，按贝叶斯规则更新：

p_i(k+1) = p_i(k) × (1 - q_i) / (1 - p_i(k) × q_i)

其中 q_i 是该栅格在当前位置和传感器姿态下的条件探测概率。若发现目标，则 p_i 置为 1，其余栅格置为 0，搜索转入跟踪或确认阶段。若未探测的栅格，其概率保持不变，但所有栅格概率之和会因归一化而整体上升——这正是“搜索越久、剩余区域越可疑”的数学体现。实际实现中，为避免浮点下溢，常在对数域计算或每若干步重新归一化。

三、覆盖函数与搜索收益：衡量“搜了多少”和“搜得值不值”

覆盖函数描述传感器对栅格的作用强度。对第 j 个无人系统在位置 (x_j, y_j)、传感器探测半径 R_s 下，栅格 i 的瞬时覆盖度可定义为：

c_ij = 1，  d_ij ≤ R_s
c_ij = 0，  d_ij > R_s

若考虑探测概率随距离衰减，可用 c_ij = exp(-λ d_ij²) 或线性衰减模型。多机协同下，栅格 i 的联合覆盖度为 C_i = 1 - Π_j (1 - c_ij)，体现“多机覆盖同一区域可提升发现概率，但存在收益递减”。

搜索收益则把覆盖度与目标概率结合，衡量一次探测对降低不确定性的贡献。常用定义为：

G_i = p_i(k) × C_i × q_i

它表示“该栅格有目标的概率 × 被覆盖的程度 × 覆盖后能发现的概率”。整个机群在第 k 步的总搜索收益为 G(k) = Σ_i G_i。若目标是尽快发现目标，则优化累计收益；若目标是区域确认，则更关注概率地图的熵下降：

H(k) = - Σ_i p_i(k) log p_i(k)

熵越小，表示目标位置越确定。搜索收益与熵下降从两个角度刻画同一件事：前者强调“发现”，后者强调“排除”。

四、约束条件：把“能飞”与“该飞”区分开

没有约束的优化只是数学游戏。真实多无人系统搜索必须同时满足若干硬约束与软约束。硬约束包括：每架无人机的航程或能量上限 Σ_k ||x_j(k+1)-x_j(k)|| ≤ L_max；禁飞区与地形障碍，即对不可通行栅格 c_i = 0，任何路径不得进入；机间安全距离 ||x_j - x_l|| ≥ d_safe；通信链路约束，通常要求机间距离不超过通信半径 R_comm，或通过中继保持连通。软约束则包括覆盖率下限、任务时间窗口、转弯次数限制等，可通过罚函数或加权项纳入目标。

约束的数学形式决定了问题类型。若决策变量是“某机是否在某个时刻访问某栅格”的 0-1 变量，则问题可建模为混合整数线性规划；若允许连续路径，则涉及非线性规划或最优控制。实际系统中，由于规模大、动态强，常采用滚动时域优化：每步只求解未来若干步的局部最优，执行后更新概率地图，再重新规划。

五、优化目标：从单目标到多目标折中

搜索与覆盖的优化目标并非唯一。若首要任务是尽快发现目标，目标函数可取最小化期望发现时间 min E[T_discover]；若任务是区域确认，则取最小化最终熵 min H(K)；若强调持续覆盖，则取最大化累计覆盖收益 max Σ_k Σ_i G_i(k)。多目标之间往往冲突：追求高收益可能增加能耗，追求低熵可能重复搜索同一区域。

工程上常用加权和法将多目标转为单目标：

J = w1 · Σ G_i - w2 · E_energy - w3 · H(K) - w4 · 违规罚项

权重 w1～w4 需根据任务阶段调整。例如搜索初期侧重收益与熵下降，返航阶段侧重能耗与安全。也可采用帕累托前沿方法，给出一组非支配解供指挥员选择。