4. 无人系统运动学与动力学建模

局部规划器输出的速度指令，最终必须由某个具体平台执行。差速轮式底盘、阿克曼转向车辆、多旋翼和固定翼飞机，在“能往哪走、能多快转向、能承受多大加速度”上差异极大。如果规划器忽略这些约束，轻则轨迹跟踪误差大，重则指令不可执行、系统失稳。本节先建立统一的位姿与速度描述，再逐一分析四类平台的运动学与动力学限制，最后说明这些限制如何转化为局部规划中的可行域与代价项。

统一描述：位姿、速度与约束的层次

在平面内，位姿记为 q = (x, y, θ)，其中 θ 为航向角，定义逆时针为正，x 轴指向初始前进方向。速度层通常用 v（前进速度）和 ω（偏航角速度）描述。约束分三个层次：运动学约束决定瞬时速度方向是否可行；非完整约束是不可积的速度约束，典型形式为 ẋ·sinθ − ẏ·cosθ = 0，即轮式车辆不能横向平移；动力学约束限制加速度、转向速率、推力和姿态变化率。局部规划真正需要的是“在预测时域内可达的速度与轨迹集合”，而不是单点速度。

差速轮式：非完整约束下的圆弧运动

差速底盘左右轮速分别为 v_L、v_R，轮距为 L，则 v = (v_R + v_L)/2，ω = (v_R − v_L)/L。当 v_L ≠ v_R 时，底盘绕瞬时转向中心做圆弧运动，转弯半径 R = v/ω。若 v_L = −v_R，则 v = 0、ω ≠ 0，可原地旋转，这是差速平台相对阿克曼的核心优势。

实际约束包括：轮速上限 |v_L|, |v_R| ≤ v_max，电机加速度上限 |a| ≤ a_max，以及角加速度上限。局部规划中常用做法是把 (v, ω) 采样成动态窗口：以当前速度为起点，在 v ∈ [v_c − a_max·Δt, v_c + a_max·Δt]、ω ∈ [ω_c − α_max·Δt, ω_c + α_max·Δt] 内离散采样，再对每个候选速度前向积分 Δt 得到圆弧轨迹，剔除碰撞轨迹后按目标朝向、速度、离障碍距离评分。例如 L = 0.5 m、v_max = 1.0 m/s、a_max = 0.8 m/s²、Δt = 0.1 s，则每周期速度增量不超过 0.08 m/s，规划器必须提前减速，否则会在障碍前“刹不住”。

阿克曼：最小转弯半径与转向速率

阿克曼车辆用前轮转角 δ 控制航向，轴距为 L_w，则 ω = v·tanδ / L_w，最小转弯半径 R_min = L_w / tanδ_max。与差速不同，阿克曼在低速时不能原地转向，且 δ 受机械限位和转向速率 δ̇_max 约束。局部规划若只输出 (v, ω)，需反解 δ = arctan(ω·L_w / v)，当 v → 0 时该式病态，因此低速段应直接规划曲率 κ = 1/R，并限制 |κ| ≤ 1/R_min。例如 L_w = 2.7 m、δ_max = 30°，则 R_min ≈ 4.68 m；若规划器给出半径 3 m 的避障圆弧，车辆物理上无法跟踪，必须改为“先外扩再绕行”或倒车调整。

多旋翼：全向但受推力与姿态限制

多旋翼在悬停附近可近似为全向移动，但加速度受推力矢量倾角限制。设最大倾角 φ_max，则水平加速度上限约 a_max = g·tanφ_max。例如 φ_max = 30°，a_max ≈ 5.66 m/s²；若要求 1 s 内从 0 加速到 8 m/s，所需加速度 8 m/s² 已超出该倾角能力，规划器必须延长加速时间或降低目标速度。此外，偏航角速度 ω_max、垂直速度 v_z,max、姿态响应延迟都会影响轨迹跟踪。局部规划中常把多旋翼建模为三轴解耦的双积分器，并在代价中加入倾角与推力裕度项，避免规划出“贴地急转”这类姿态不可达的轨迹。

固定翼：速度不可为零与转弯半径耦合

固定翼必须保持大于失速速度 v_stall 的空速，且转弯半径与速度平方成正比：R = v² / (g·tanφ)。这意味着速度越高，转弯越“笨重”。设 v = 20 m/s、φ = 45°，则 R ≈ 40.8 m；若速度升到 30 m/s，同样倾角下 R ≈ 91.8 m。局部规划不能输出“悬停等待”或“原地转向”，只能通过调整航向、速度与高度来规避。常用做法是在 Frenet 或 Dubins 路径框架下生成满足最小转弯半径的圆弧—直线—圆弧组合，并把爬升/下滑角限制、过载限制作为硬约束。

把约束写进局部规划：三个可操作要点

第一，用动态窗口而非全局速度集。 以当前状态为中心，按 a_max·Δt 和 α_max·Δt 扩展采样范围，保证相邻周期指令连续。对差速平台，窗口边界由轮速与轮加速度共同决定；对阿克曼，还需把 δ̇_max 折算成 ω̇ 上限。

第二，把平台专属约束作为硬约束前置。 差速平台剔除 |ω| > ω_max 的采样；阿克曼剔除 |κ| > 1/R_min 的圆弧；多旋翼剔除 |a| > g·tanφ_max 的轨迹；固定翼剔除 v < v_stall 或 R < R_min 的路径。硬约束放在碰撞检测之前，可显著减少无效计算。

第三，用软代价处理“可执行但危险”的边界。 例如把接近 φ_max 的倾角、接近 v_stall 的速度、接近 δ_max 的转角设为惩罚项，让规划器在多个可行解中优先选择裕度大的轨迹。一个实用的评分形式为 J = w_g·d_goal + w_o·1/d_obs + w_v·(v_ref − v)² + w_u·u²，其中 u 为控制量，w_u 越大轨迹越平滑，但避障响应越慢，需要按平台调整。