3. 无人飞行器动力学建模

抗扰控制的前提是“扰动进入系统的通道”必须被准确描述。对无人飞行器而言，风不是直接作用在控制器上的量，而是先改变相对气流，再改变气动力与力矩，最后通过六自由度刚体动力学影响位置与姿态。因此本节按“刚体运动—气动载荷—风场相对速度—执行机构”这条因果链建立模型，并明确各坐标系与符号约定，为后续观测器与鲁棒控制器设计提供统一基础。

一、坐标系与状态量约定

建模前先固定参照系，全文保持一致。采用北东地（NED）惯性系描述位置与速度，机体轴定义为：x_b 指向机头、y_b 指向右翼、z_b 指向机腹（即前右下）。姿态用 Z-Y-X 顺序的欧拉角表示：偏航角 ψ、俯仰角 θ、滚转角 φ。状态量取 12 维：位置 p=[x,y,z]^T、速度 V=[u,v,w]^T、姿态角 η=[φ,θ,ψ]^T、角速度 ω=[p,q,r]^T。约定俯仰角抬头为正、滚转右倾为正、偏航右偏为正，角速度与对应轴正方向一致。

二、六自由度刚体模型

刚体部分由平动与转动两组方程构成。平动在机体系下写成：

m(V̇ + ω × V) = F_b
I ω̇ + ω × (I ω) = M_b

其中 m 为质量，I 为惯量矩阵，F_b、M_b 为机体系下的合外力与合外力矩，包含气动力、重力与推力。重力需从惯性系旋转到机体系：F_g,b=R_b/n^T[0,0,mg]^T。运动学方程把机体系速度与欧拉角速率连接起来：

ṗ = R_n/b · V
[φ̇,θ̇,ψ̇]ᵀ = W(φ,θ) · ω

其中 W 在 θ=±90° 处奇异，因此实际仿真中常改用四元数积分，再在输出端转换为欧拉角，避免大机动时数值发散。以某小型固定翼为例（示例参数，非实测）：m=2.5 kg，I=diag(0.08,0.12,0.16) kg·m²，巡航速度 18 m/s。若在 0.1 s 内施加 0.5 N·m 的滚转力矩，则 p 的增量约为 Δp=M·Δt/I_xx=0.5×0.1/0.08≈0.625 rad/s，可用于快速校核模型量级是否合理。

三、气动力与力矩模型

气动力通常分解为阻力、侧力与升力，气动力矩分解为滚转、俯仰与偏航力矩。它们由动压 q̄=½ρV_a²、参考面积 S、参考弦长 c 与翼展 b 无量纲化：

L = q̄ S C_L(α, β, δ_e, ...)
D = q̄ S C_D(α, β, δ_e, ...)
Y = q̄ S C_Y(β, δ_r, ...)
M = q̄ S c C_m(α, q, δ_e, ...)

其中 α 为迎角、β 为侧滑角，δ_e、δ_a、δ_r 分别为升降舵、副翼、方向舵偏角。小迎角下常用线性化形式 C_L=C_L0+C_Lαα+C_Lδeδ_e，但抗扰控制必须关注非线性区：α 接近失速迎角时 C_L 饱和甚至下降，C_D 急剧增大，俯仰力矩出现非线性拐点。这些非线性是风扰下姿态突变的重要来源，不能只用线性导数近似。

四、风场相对速度表示

风对飞行器的作用不是直接叠加在速度上，而是改变相对气流。设惯性系风速为 V_w,n，机体系速度为 V_b，则机体系相对气流速度为：

V_a = V_b − R_b/n · V_w,n
u_a = u − u_w,  v_a = v − v_w,  w_a = w − w_w
V_a = √(u_a² + v_a² + w_a²)
α = arctan(w_a / u_a),  β = arcsin(v_a / V_a)

这里 R_b/n 为惯性系到机体系的旋转矩阵。风场可分解为常值风、阵风与湍流：常值风改变配平迎角与侧滑角；阵风（如 1−cos 型）在短时间内造成 α、β 突变；湍流则用 Dryden 或 von Kármán 谱生成连续随机分量。以 Dryden 纵向谱为例，其传递函数为：

H_u(s) = σ_u √(2L_u/(πV)) · 1/(1 + (L_u/V)s)
H_w(s) = σ_w √(2L_w/(πV)) · (1 + √3(L_w/V)s) / (1 + (L_w/V)s)²

其中 σ 为湍流强度，L 为尺度长度，V 为飞行速度。示例：σ_w=1.5 m/s，L_w=200 m，V=18 m/s，则时间常数 L_w/V≈11.1 s，说明该尺度湍流变化较缓，主要影响长周期运动；而阵风时间常数常取 0.5～2 s，会直接激发短周期俯仰振荡。区分这两类时间尺度，是后续设计扰动观测器带宽的关键依据。

五、执行机构模型与非线性特性

执行机构把控制器输出的舵面指令 δ_cmd 转换为实际舵偏 δ_act。理想情况下 δ_act=δ_cmd，但真实舵机存在三类非线性：

• 速率限幅：舵面最大偏转速率有限，如 100 °/s。当指令变化过快时，实际舵偏跟不上，等效为相位滞后。
• 位置饱和：舵面偏角有上下限，如 ±25°。大扰动下指令超出范围，实际舵效被截断，控制能力下降。
• 死区与间隙：小指令下舵面不动作，或传动间隙造成回差，使小信号控制精度下降。

工程上常用一阶惯性加限幅模型近似：

δ̇_act = sat((δ_cmd − δ_act)/τ, ±δ̇_max)
δ_act = clamp(δ_act, −δ_max, +δ_max)

其中 τ 为舵机时间常数，典型值 0.02～0.05 s。示例：τ=0.03 s、δ̇_max=100 °/s、δ_max=25°。若控制器在 0.05 s 内要求舵面从 0° 转到 20°，所需平均速率 400 °/s，远超限幅，实际只能完成约 5°，等效舵效大幅下降。这说明抗扰控制不能假设“指令即舵偏”，必须把执行机构动态纳入被控对象，或在控制器中显式处理饱和与速率约束。