📚 课程目录第3章多旋翼飞行器动力学建模

3. 多旋翼飞行器动力学建模

姿态与位置控制器的设计质量，最终取决于模型对真实飞行器动态的刻画精度。多旋翼的动力学建模不是把几个公式堆在一起，而是要把“电机输入 → 旋翼气动力/力矩 → 机体六自由度运动 → 外部扰动叠加”这条因果链完整写清楚。本节按刚体动力学、牛顿-欧拉方程、旋翼升力与反扭矩、电机模型、风阻与外部扰动五个部分展开，最后合成一个可直接用于仿真和控制器设计的六自由度非线性模型。

一、坐标系与状态量定义

建模前必须先固定参照系，否则正负号会前后矛盾。本文采用如下约定，全文及图示保持一致：

惯性系（大地系）：原点固定于起飞点，z 轴竖直向上，x、y 轴水平，符合右手定则。重力加速度 g = 9.81 m/s²，方向沿 −z。
机体系：原点位于飞行器质心，x_b 指向机头，y_b 指向右侧，z_b 指向机体上方。四个旋翼按“X”型布局，编号 1 为右前、2 为右后、3 为左后、4 为左前。
姿态角：滚转角 φ、俯仰角 θ、偏航角 ψ，采用 Z-Y-X 欧拉角序列，旋转矩阵 R 由机体到惯性系。

状态量取 12 维：位置 p = [x, y, z]^T，速度 v = [v_x, v_y, v_z]^T，姿态角 η = [φ, θ, ψ]^T，机体角速度 ω = [p, q, r]^T。控制输入为四个电机的转速指令，经电机模型后得到实际转速 Ω_i。

二、刚体动力学与牛顿-欧拉方程

多旋翼可视为一个质量恒定、外形对称的刚体。平动部分由牛顿第二定律在惯性系下描述：

m·v̇ = R·F_body + m·g_vec + F_drag + F_dist

其中 m 为总质量，F_body 为机体系下旋翼产生的合外力，g_vec = [0, 0, −g]^T，F_drag 为气动阻力，F_dist 为外部扰动（如阵风）。

转动部分由欧拉方程给出，注意必须在机体系下书写，因为转动惯量张量在机体系下近似为常量：

I·ω̇ = M_body − ω × (I·ω)

其中 I = diag(I_xx, I_yy, I_zz) 为转动惯量矩阵，M_body 为旋翼产生的合力矩，ω × (I·ω) 为陀螺耦合项。对于 X 型四旋翼，若轴距为 L，则各旋翼到质心的力臂在 x_b、y_b 方向的分量均为 L/√2。

姿态角与机体角速度之间的运动学关系为：

η̇ = W(η)·ω
W = [1  sinφ·tanθ  cosφ·tanθ
     0  cosφ        −sinφ
     0  sinφ/cosθ   cosφ/cosθ]

当 θ → ±90° 时该矩阵奇异，这是欧拉角表示的固有缺陷，实际控制器中常用四元数替代，但本节为便于理解仍采用欧拉角。

三、旋翼升力与反扭矩

单个旋翼在悬停或低速飞行时，升力近似与转速平方成正比：

F_i = k_F · Ω_i²
M_i = k_M · Ω_i²

其中 k_F 为升力系数，k_M 为反扭矩系数，二者由桨叶几何和空气密度决定。以 10 寸桨、3S 电池的典型四旋翼为例，k_F ≈ 1.2×10⁻⁵ N·s²/rad²，k_M ≈ 2.4×10⁻⁷ N·m·s²/rad²，比值 k_M/k_F ≈ 0.02 m，与桨径同量级。

四个旋翼的转向按对角同向配置：1、3 号逆时针，2、4 号顺时针。这样反扭矩在悬停时相互抵消，同时通过转速差产生偏航力矩。机体合外力与合力矩为：

F_body = [0, 0, ΣF_i]^T
M_body = [ L/√2·(F_1+F_2−F_3−F_4),
           L/√2·(−F_1+F_2+F_3−F_4),
           k_M/k_F·(F_1−F_2+F_3−F_4) ]^T

注意第三行偏航力矩的符号取决于各旋翼转向定义，建模时必须与电机编号、桨叶正反装一致，否则偏航通道会反向。

四、电机模型

无刷电机加电调的动态通常用一阶惯性环节近似，从转速指令 Ω_cmd 到实际转速 Ω 的传递关系为：

Ω̇ = (Ω_cmd − Ω) / τ_m

时间常数 τ_m 典型值为 0.02～0.05 s，取决于电机电感、转子惯量和电调响应速度。若忽略电机动态，控制器在仿真中会表现得过于理想，实际飞行时容易出现高频振荡。因此六自由度模型中应保留这一环节，或至少用一阶滤波近似。

五、风阻与外部扰动

气动阻力在机体系下可写为：

F_drag = −0.5·ρ·C_d·A·|v_b|·v_b

其中 ρ 为空气密度，C_d 为阻力系数，A 为迎风面积，v_b 为机体速度。低速时阻力较小，但高速前飞时不可忽略。外部扰动 F_dist 可建模为常值风、阵风或周期性扰动，用于测试控制器的抗扰能力。

六、六自由度非线性模型合成

将上述各部分联立，得到完整的六自由度非线性状态方程。以状态向量 x = [p, v, η, ω]^T 表示：

ṗ = v
v̇ = (1/m)·R(η)·F_body + g_vec + (1/m)·F_drag + (1/m)·F_dist
η̇ = W(η)·ω
ω̇ = I⁻¹·[M_body − ω×(I·ω)]

其中 F_body 和 M_body 由四个旋翼转速经气动模型计算，转速由电机一阶模型从指令生成。该模型是非线性的，主要来源有三：旋转矩阵 R(η) 中的三角函数、欧拉方程中的陀螺耦合项 ω×(I·ω)、以及阻力项中的速度平方。

建模检查要点：完成模型后，建议做三项自检。第一，悬停平衡点验证：令 φ=θ=0，四个 Ω_i 相等，检查 ΣF_i 是否等于 mg，合力矩是否为零。第二，符号一致性：给 1 号电机加转速、3 号减转速，检查滚转力矩方向是否与预期一致。第三，能量趋势：无扰动自由响应下，系统总能量应单调不增（有阻尼时），若出现发散则说明符号或耦合项有误。

常见错误：把欧拉方程写成惯性系形式 I·ω̇ = M，忽略 ω×(I·ω) 项。在低速小角度飞行时该项较小，但大机动或高角速度下会显著影响姿态响应，导致仿真与实飞偏差。另一个常见错误是忽略电机时间常数，使控制器带宽设计过高，实际飞行时出现电机响应跟不上指令的滞后振荡。

该模型可直接用于 MATLAB/Simulink 或 Python 数值仿真。以 1 kg 四旋翼、轴距 0.25 m、I_xx=I_yy=0.005 kg·m²、I_zz=0.009 kg·m² 为例，悬停时每个电机约需 4500 rad/s（约 43000 rpm 的电机轴转速，经减速或直接驱动视具体配置而定），此时 ΣF_i ≈ 9.81 N，与重力平衡。给定期望位置和姿态轨迹，即可用该模型验证控制器在扰动下的跟踪误差和恢复时间。

建模的最终目的不是追求公式完备，而是让控制器设计有可依据的对象。模型精度与复杂度需要权衡：若只做悬停和低速位置控制，可忽略阻力高阶项和电机动态；若要做高速前飞或抗风测试，则必须保留阻力平方项和扰动输入通道。下一阶段将基于该模型展开姿态环和位置环的控制器设计。