2. 固定翼飞行器运动建模

飞控系统的一切设计决策，最终都要落到一个能描述飞机真实运动的数学模型上。固定翼飞行器在空间中既有质心的三轴平动，又有绕质心的三轴转动，共六个自由度，因此最完整的描述是六自由度非线性模型。本节从坐标系约定出发，逐步建立该模型，再讨论气动力与力矩、风扰动，最后说明如何配平并线性化，得到可用于控制器设计的线性模型。

一、坐标系与状态量约定

建模前必须先固定参照系，否则正负号会前后矛盾。工程上常用两套坐标系：地面惯性系 \(O_eX_eY_eZ_e\)，取“东北天”右手系，用于描述位置与航迹；机体坐标系 \(O_bX_bY_bZ_b\)，原点在质心，\(X_b\) 指向机头，\(Y_b\) 指向右翼，\(Z_b\) 指向机腹，用于描述气动力与力矩。姿态用欧拉角表示：滚转角 \(\phi\)、俯仰角 \(\theta\)、偏航角 \(\psi\)，按 \(Z-Y-X\) 顺序旋转。

状态量共 12 个：位置 \((p_n,p_e,p_d)\)、速度 \((u,v,w)\)、姿态角 \((\phi,\theta,\psi)\)、角速率 \((p,q,r)\)。其中 \((u,v,w)\) 与 \((p,q,r)\) 定义在机体系，位置与姿态角定义在地面系。全文及图示均遵循这一约定：滚转右倾为正，抬头为正，右偏航为正。

二、六自由度非线性方程

平动方程由牛顿第二定律在机体系展开，需考虑机体系旋转带来的附加项：

u̇ = rv − qw − g·sinθ + (Fx)/m
v̇ = pw − ru + g·sinφ·cosθ + (Fy)/m
ẇ = qu − pv + g·cosφ·cosθ + (Fz)/m

转动方程由角动量定理给出，忽略惯量积时：

ṗ = (L + (Iy − Iz)·q·r) / Ix
q̇ = (M + (Iz − Ix)·r·p) / Iy
ṙ = (N + (Ix − Iy)·p·q) / Iz

姿态角与角速率的关系为运动学方程，其中 \(\theta=\pm90°\) 时出现奇异，实际飞行中应避免垂直姿态：

φ̇ = p + q·sinφ·tanθ + r·cosφ·tanθ
θ̇ = q·cosφ − r·sinφ
ψ̇ = q·sinφ/cosθ + r·cosφ/cosθ

位置方程则通过旋转矩阵把机体系速度投影到地面系。至此，12 个状态量的微分方程闭合，构成完整的六自由度非线性模型。

三、气动力与力矩

合外力 \(F\) 与合外力矩 \((L,M,N)\) 由气动力、发动机推力和重力组成。气动力通常写成无量纲系数形式，便于按动压和参考量缩放：

升力   L_a = q̄·S·C_L,   q̄ = ½ρV²
阻力   D   = q̄·S·C_D
侧力   Y   = q̄·S·C_Y
滚转力矩 L_m = q̄·S·b·C_l
俯仰力矩 M_m = q̄·S·c̄·C_m
偏航力矩 N_m = q̄·S·b·C_n

其中 \(S\) 为机翼参考面积，\(b\) 为翼展，\(\bar{c}\) 为平均气动弦长。气动系数是迎角 \(\alpha\)、侧滑角 \(\beta\)、马赫数、舵面偏度 \((\delta_e,\delta_a,\delta_r)\) 与角速率的函数。在小迎角范围内可线性化：

C_L = C_L0 + C_Lα·α + C_Lδe·δe + (c̄/2V)·C_Lq·q
C_D = C_D0 + k·C_L²
C_m = C_m0 + C_mα·α + C_mδe·δe + (c̄/2V)·C_mq·q
C_l = C_lβ·β + C_lδa·δa + (b/2V)·(C_lp·p + C_lr·r)
C_n = C_nβ·β + C_nδr·δr + (b/2V)·(C_np·p + C_nr·r)

以某小型固定翼为例（示例参数，非实测）：\(S=0.55\,\text{m}^2\)，\(b=1.5\,\text{m}\)，\(\bar{c}=0.38\,\text{m}\)，\(m=3.2\,\text{kg}\)，\(C_{L\alpha}=4.5\,\text{/rad}\)，\(C_{m\alpha}=-0.6\,\text{/rad}\)，\(C_{m\delta e}=-1.1\,\text{/rad}\)。这些系数决定了纵向静稳定性与俯仰操纵效率，是后续配平与线性化的直接输入。

四、风扰动建模

真实大气并非静止，风会改变飞机相对气流的速度，从而改变有效迎角与侧滑角。设地速为 \(V_b=(u,v,w)\)，风速为 \(V_w=(u_w,v_w,w_w)\)，则空速 \(V_a=V_b-V_w\)。有效迎角与侧滑角由空速分量计算：

α_eff = atan2(w_a, u_a)
β_eff = asin(v_a / |V_a|)

风扰动通常分为三部分：常值风（平均风，造成稳态偏差）、阵风（离散突风，用 1-cos 或锐边模型描述）、大气湍流（连续随机过程，工程上常用 Dryden 谱生成）。Dryden 谱的纵向传递函数为：

H_u(s) = σ_u·√(2L_u/(πV)) · 1/(1 + (L_u/V)s)

其中 \(\sigma_u\) 为湍流强度，\(L_u\) 为湍流尺度。仿真时把生成的 \(u_w,v_w,w_w\) 叠加到地速上，再重新计算气动角，即可观察风对姿态和轨迹的影响。例如在 8 m/s 巡航时加入 3 m/s 的侧风，侧滑角会明显增大，滚转通道需要额外舵面偏度来保持航向。

五、配平与线性化

非线性模型无法直接用于线性控制器设计，需先配平再线性化。配平是寻找一组状态与输入，使所有状态导数同时为零。对定直平飞，约束为：

ẋ = 0,  θ = α,  φ = 0,  β = 0
升力 = 重力,  推力 = 阻力,  俯仰力矩 = 0

以示例参数在 \(V_0=12\,\text{m/s}\) 配平，可解得 \(\alpha_0\approx 3.2°\)，\(\delta_{e0}\approx -1.5°\)，\(\delta_{t0}\) 对应推力约 2.1 N。配平结果是否合理，可检查升降舵偏度是否在可用范围内、迎角是否远离失速边界。

线性化是在配平点附近对非线性方程做一阶泰勒展开，得到小扰动线性模型：

Δẋ = A·Δx + B·Δu
A = ∂f/∂x |₀ ,  B = ∂f/∂u |₀

由于对称性，纵向与横航向可近似解耦。纵向状态取 \((\Delta u,\Delta w,\Delta q,\Delta\theta)\)，输入取 \((\Delta\delta_e,\Delta\delta_t)\)，其特征值对应短周期与长周期模态；横航向状态取 \((\Delta v,\Delta p,\Delta r,\Delta\phi)\)，输入取 \((\Delta\delta_a,\Delta\delta_r)\)，特征值对应滚转、螺旋与荷兰滚模态。检查特征值实部是否均为负，即可判断该配平点是否稳定；若某模态阻尼不足，则需在控制器中增加阻尼反馈。

完成本节建模后，你应当能够：写出 12 状态六自由度方程；根据气动系数表计算给定迎角下的升力、阻力与俯仰力矩；用 Dryden 谱生成湍流并注入仿真；在指定巡航速度下配平并提取 A、B 矩阵，判断纵向与横航向模态的稳定性。这套模型是后续姿态控制、航迹跟踪与自主导航设计的共同基础。