相机内参标定：张正友标定法原理

说到相机内参标定，我敢说这是每个做感知的人都会遇到的第一道坎。你想想看，相机拍出来的图像是二维的，但我们要从里面恢复三维信息，这中间缺的就是一个「映射关系」。这个关系，就是内参矩阵和畸变系数。

张正友标定法，说白了就是用一张棋盘格照片，通过数学推导把相机内部参数算出来。我当年刚入行时，觉得这玩意儿特别玄乎，后来亲手跑了一遍流程才发现——其实核心思想就四个字：几何约束。

核心思想：利用棋盘格上已知的角点坐标（世界坐标系）与图像中检测到的角点坐标（像素坐标系）之间的对应关系，建立方程组，求解内参矩阵和畸变系数。

棋盘格角点检测

这一步是标定的基础。棋盘格上的黑白格子交界处，就是我们要找的角点。为什么选棋盘格？因为它的角点特征非常明显——两个方向上的梯度变化都很大，容易检测。

我记得第一次做标定时，用的是一张打印出来的A4纸棋盘格，贴在硬纸板上。当时没注意光照，结果角点检测死活不对。后来才发现，棋盘格表面有反光，角点被误判了。嗯，这里要注意：棋盘格一定要平整，光照要均匀。

OpenCV里提供了现成的角点检测函数：

import cv2
import numpy as np

# 棋盘格尺寸（内角点数量）
pattern_size = (9, 6)  # 9列6行内角点

# 读取图像
img = cv2.imread('chessboard.jpg')
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)

# 检测角点
ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)

if ret:
    # 亚像素级精确化
    criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
    corners_sub = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11,11), (-1,-1), criteria)
    
    # 绘制角点
    cv2.drawChessboardCorners(img, pattern_size, corners_sub, ret)

我的经验：亚像素精确化这一步千万别省。我见过有人直接用粗检测的角点去标定，结果重投影误差大得离谱。多花几毫秒，精度能提升一个数量级。

内参矩阵的求解

内参矩阵长这样：

     [fx  0  cx]
K =  [ 0  fy  cy]
     [ 0   0   1]

其中fx、fy是焦距（以像素为单位），cx、cy是主点坐标（通常接近图像中心）。

张正友标定法的核心，是利用了棋盘格平面上的点满足「单应性矩阵」这个约束。说白了，就是世界坐标系中的平面点，到图像坐标系中的点，存在一个3x3的变换矩阵H。通过多张不同角度的棋盘格照片，我们可以解出H，再从H中分解出内参。

我个人习惯至少拍15-20张不同角度的棋盘格照片。为什么？因为角度越多，约束越强，解出来的内参越稳定。我曾经试过只用5张照片，结果标定出来的fx和fy差了3%——这在自动驾驶里是不能接受的。

畸变系数的求解

相机镜头不是完美的，会产生畸变。主要有两种：

径向畸变：镜头形状导致的，图像边缘的直线会变弯。用k1、k2、k3三个参数描述。
切向畸变：镜头与成像平面不平行导致的。用p1、p2两个参数描述。

畸变模型可以写成：

x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + 2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y

其中r是点到主点的距离。你看，畸变校正本质上就是把这个过程反过来——从畸变图像反推无畸变图像。

避坑指南：我曾经在标定一个广角相机时，发现畸变系数k3特别大。后来排查发现，是因为棋盘格只覆盖了图像中心区域，边缘的畸变没有被充分约束。解决方案：让棋盘格出现在图像的各个角落，尤其是边缘和四角。

完整的标定流程

把上面这些串起来，完整的标定流程是这样的：

import cv2
import numpy as np
import glob

# 准备世界坐标系中的点
pattern_size = (9, 6)
objp = np.zeros((pattern_size[0]*pattern_size[1], 3), np.float32)
objp[:,:2] = np.mgrid[0:pattern_size[0], 0:pattern_size[1]].T.reshape(-1,2)

# 存储所有图像的点
objpoints = []  # 世界坐标系中的点
imgpoints = []  # 图像坐标系中的点

images = glob.glob('calib_images/*.jpg')

for fname in images:
    img = cv2.imread(fname)
    gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
    
    ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)
    
    if ret:
        objpoints.append(objp)
        criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
        corners_sub = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11,11), (-1,-1), criteria)
        imgpoints.append(corners_sub)

# 标定
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None
)

print("内参矩阵:\n", mtx)
print("畸变系数:\n", dist)

知识体系结构

下面这张图，是我自己总结的相机内参标定知识体系。你看，整个流程从数据采集开始，到角点检测，再到参数求解，最后是精度验证，环环相扣。

标定结果验证

标定完不是就完事了。我每次都会做一件事：用标定结果去校正一张棋盘格照片，看看直线是不是真的变直了。

# 畸变校正
img_undistorted = cv2.undistort(img, mtx, dist, None, mtx)

# 计算重投影误差
total_error = 0
for i in range(len(objpoints)):
    imgpoints2, _ = cv2.projectPoints(objpoints[i], rvecs[i], tvecs[i], mtx, dist)
    error = cv2.norm(imgpoints[i], imgpoints2, cv2.NORM_L2) / len(imgpoints2)
    total_error += error

print("平均重投影误差: ", total_error / len(objpoints))

我的判断标准：重投影误差小于0.5像素，这个标定结果就算合格。如果超过1个像素，我建议重新采集数据。误差来源通常是：棋盘格不平整、照片数量不够、或者角点检测精度不够。

好了，相机内参标定这块，核心就是这些。说白了，就是通过多张棋盘格照片，用数学方法把相机的「内在参数」算出来。这个结果，是后续激光雷达与相机融合的基础——没有准确的内参，点云投影到图像上就会错位，融合效果也就无从谈起。

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📚 课程目录

相机内参标定：张正友标定法原理

棋盘格角点检测

内参矩阵的求解

畸变系数的求解

完整的标定流程

知识体系结构

标定结果验证