第4章：相机内参回顾：针孔相机模型、内参矩阵与畸变参数

各位同学，欢迎来到第四章。在正式开始外参标定之前，我强烈建议大家先回头把内参这块儿夯实了。为什么？因为外参标定的精度，很大程度上依赖于内参是否准确。说白了，内参是相机的“出厂设置”，外参是相机在空间中的“站位”。设置错了，站位再准也没用。

这一章，我们就来系统地回顾一下相机内参的三大核心：针孔模型、内参矩阵、畸变参数。嗯，都是老朋友了，但咱们得用工程师的视角再审视一遍。

4.1 针孔相机模型：最朴素的成像原理

针孔模型，说白了就是初中物理课上那个小孔成像实验。光线穿过一个小孔，在后面的屏幕上形成一个倒立的像。相机镜头虽然复杂，但核心思想没变——把三维世界投影到二维平面上。

数学上怎么描述？就是相似三角形。假设世界中的一个点 P(X, Y, Z)，经过相机光心投影到成像平面上的点 p(x, y)。根据相似关系：

x = f * (X / Z)
y = f * (Y / Z)

这里的 f 是焦距，单位是毫米。但注意，这只是理想情况。实际相机里，成像平面是传感器（CCD/CMOS），我们最终拿到的是像素坐标，不是物理毫米坐标。所以需要引入内参矩阵来做单位转换。

4.2 内参矩阵 K：从物理世界到像素坐标

内参矩阵 K 是一个 3x3 的上三角矩阵，它描述了相机坐标系下的3D点如何映射到图像像素坐标系。它的标准形式是：

K = [ fx   0   cx
      0   fy   cy
      0    0    1 ]

我来拆解一下每个参数的含义：

有了内参矩阵，完整的投影公式就是：

s * [u, v, 1]^T = K * [X_c, Y_c, Z_c, 1]^T

其中 s 是尺度因子（其实就是 Z_c），[u, v] 是像素坐标，[X_c, Y_c, Z_c] 是相机坐标系下的3D点。

4.3 畸变参数：现实总是不完美的

针孔模型是理想情况。但实际镜头有透镜，透镜就会引入畸变。畸变主要分两类：径向畸变和切向畸变。

4.3.1 径向畸变

径向畸变是沿着镜头半径方向分布的畸变。说白了，就是光线经过透镜边缘时弯曲得更厉害。它分为两种：

• 桶形畸变：图像边缘向外凸出，像木桶一样。常见于广角镜头。
• 枕形畸变：图像边缘向内凹陷。常见于长焦镜头。

数学上用三个参数 k1, k2, k3 来描述：

x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6)

其中 r^2 = x^2 + y^2，是像素点到光心的距离平方。k3 通常只在鱼眼镜头等大畸变情况下才需要。

4.3.2 切向畸变

切向畸变是由于镜头和传感器平面不平行（有安装倾斜）造成的。它用两个参数 p1, p2 来描述：

x_distorted = x + [2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)]
y_distorted = y + [p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y]

切向畸变的数值通常比径向畸变小一个数量级。但别小看它，在精密测量中，这点偏差足以让三维重建结果偏掉几毫米。

4.4 完整的畸变模型

把径向和切向畸变合在一起，就是 OpenCV 里常用的畸变模型。畸变参数向量通常表示为：

dist_coeffs = [k1, k2, p1, p2, k3]

标定流程大致是：

1. 拍摄多张不同角度的棋盘格图像
2. 提取角点坐标
3. 用最小二乘法同时优化内参和畸变参数
4. 得到 K 矩阵和 dist_coeffs

4.5 为什么外参标定前必须知道内参？

这个问题很关键。外参标定的本质，是求解相机坐标系相对于世界坐标系的旋转和平移。但在这个过程中，我们需要把图像上的 2D 像素点反投影到 3D 空间。这个反投影过程，必须用到内参矩阵和畸变参数。

具体来说：

• 先用畸变参数对图像做去畸变处理
• 再用内参矩阵把像素坐标转换到归一化平面坐标
• 最后结合外参，建立 3D-2D 的对应关系

如果内参不准，就好比你用一把没校准的尺子去量东西。量出来的外参，自然也是错的。所以，我个人的习惯是：每次做外参标定之前，先花 10 分钟重新标定一下内参。尤其是相机被拆装过、或者环境温度变化大的时候，内参可能会漂移。

好了，内参这块儿我们就回顾到这里。下一章，我们将正式进入外参标定的核心内容。到时候你会发现，今天打下的内参基础，会派上大用场。