4. 相机成像模型：针孔相机模型、畸变模型

相机成像模型，说白了就是回答一个问题：三维世界里的一个点，是怎么跑到二维照片上的？

我刚开始接触视觉SLAM时，觉得这玩意儿太简单了——不就是小孔成像嘛。后来真上手做外参标定，才发现里面坑不少。今天咱们就把这个基础打牢。

4.1 针孔相机模型

针孔相机模型是最经典的成像模型。它假设光线通过一个小孔，在成像平面上形成倒像。嗯，这里要注意，实际相机为了便于计算，我们会把成像平面前移到相机前方，这样图像就是正的了。

数学上，一个三维点 P(X, Y, Z) 投影到像素坐标 (u, v) 的过程，可以拆成三步：

1. 世界坐标系 → 相机坐标系：通过旋转和平移（这就是外参！）
2. 相机坐标系 → 归一化平面：除以 Z 坐标，得到 (x, y) = (X/Z, Y/Z)
3. 归一化平面 → 像素坐标系：乘以内参矩阵 K

写成矩阵形式就是：

Z * [u]   =   [fx  0  cx]   [X]
    [v]       [ 0  fy  cy] * [Y]
    [1]       [ 0   0   1]   [Z]

这个公式我建议你背下来。我在项目中遇到过好几次，有人把 fx 和 fy 搞混了，结果标定出来的外参全是错的。

4.2 畸变模型

理想很丰满，现实很骨感。实际相机用的都是透镜，不是针孔。透镜会带来畸变，说白了就是图像变形了。

畸变主要分两种：径向畸变和切向畸变。

4.2.1 径向畸变

径向畸变是沿着镜头半径方向的变形。你想想看，光线经过透镜边缘时，折射角度和中心不一样，所以图像边缘会扭曲。

有两种情况：

• 桶形畸变：图像向外凸出，像桶一样。广角镜头常见。
• 枕形畸变：图像向内凹陷，像枕头。长焦镜头常见。

数学上，我们用三个参数 k1, k2, k3 来描述径向畸变：

x_distorted = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
y_distorted = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)

其中 r² = x² + y²，是点到光心的距离。

4.2.2 切向畸变

切向畸变是因为透镜和成像平面不平行造成的。说白了就是镜头装歪了，或者传感器贴歪了。

切向畸变用两个参数 p1, p2 来描述：

x_distorted = x + (2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²))
y_distorted = y + (p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y)

4.3 完整的畸变校正流程

实际做外参标定时，我们通常先做畸变校正，再做投影。流程是这样的：

1. 从图像上提取特征点，得到像素坐标 (u, v)
2. 用内参反算到归一化平面，得到 (x, y)
3. 用畸变参数对 (x, y) 做校正，得到 (x_corrected, y_corrected)
4. 再用外参把 (x_corrected, y_corrected) 和世界坐标对应起来

这个顺序不能乱。我见过有人先做外参投影再做畸变校正，结果全乱了。

4.4 知识体系结构图

下面这张图总结了相机成像模型的完整流程：

4.5 实际标定中的注意事项

参数	常见问题	我的建议
k1, k2	数值过大或过小	k1 通常在 -0.5 ~ 0.5 之间，超出这个范围要检查标定板
p1, p2	数值异常大	如果 p1, p2 > 0.1，大概率是镜头装歪了
fx, fy	两者差异大	fx 和 fy 差异在 5% 以内正常，太大说明传感器像素不是正方形
cx, cy	偏离图像中心	偏离 10 个像素以内正常，偏离太多说明光心没对准

嗯，这一章的内容就到这儿。记住一句话：模型是死的，但参数是活的。每个相机都有自己的脾气，多标定几次，你就能摸透它的性格了。