4. SVG谐波抑制的数学建模

要对SVG的谐波抑制能力做定量分析，第一步不是直接写控制器，而是建立一套能同时描述“开关动作—谐波产生—控制响应”的数学模型。工程上通常分三层推进：先在abc三相静止坐标系写出物理可测的电压电流关系，再通过Park变换搬到dq旋转坐标系获得直流量，最后用开关函数和小信号线性化把非线性开关过程变成可设计控制器的线性模型。三层模型不是互相替代，而是同一物理对象在不同抽象层级上的表达。

一、abc坐标系模型：物理量的直接描述

设SVG并网点三相电压为 u_sa、u_sb、u_sc，逆变器输出三相电流为 i_a、i_b、i_c，直流侧电压为 U_dc，连接电抗为 L，等效电阻为 R。以电流流入电网为正方向，abc坐标系下的状态方程为：

L·di_a/dt = u_ia - u_sa - R·i_a
L·di_b/dt = u_ib - u_sb - R·i_b
L·di_c/dt = u_ic - u_sc - R·i_c

其中 u_ia、u_ib、u_ic 是逆变桥交流侧输出相电压。abc模型的优点是物理意义直观、便于与实测波形逐相对照；缺点是三相量都是50Hz正弦量，控制器若直接在abc系设计，需要处理三个耦合的时变量，稳态误差和带宽设计都很困难。因此abc模型主要承担“物理校验”角色：任何后续简化模型，最终都要能回到这组方程验证。

二、dq坐标系模型：把正弦量变成直流量

采用等幅值Park变换，取d轴与电网电压矢量对齐，则三相正弦量映射为dq系下的直流量。对三相对称无中线系统，零序分量可忽略，dq模型为：

L·di_d/dt = u_id - u_sd - R·i_d + ωL·i_q
L·di_q/dt = u_iq - u_sq - R·i_q - ωL·i_d

这里 ω 为电网角频率，ωL·i_q 与 -ωL·i_d 是坐标旋转带来的交叉耦合项。d轴电流主要控制有功，q轴电流主要控制无功与谐波补偿分量。dq模型的核心价值在于：稳态时 i_d、i_q 为常数，PI控制器可以实现零稳态误差；同时谐波次数在dq系中表现为特征频率偏移，例如5次负序谐波在dq系中变为6倍频分量，7次正序谐波同样变为6倍频分量，这为后续谐振控制器和重复控制器的设计提供了统一频率基准。

三、开关函数模型：从桥臂到交流侧

abc和dq模型中的 u_ia、u_ib、u_ic 并非独立给定，而由开关管通断决定。定义三相桥臂开关函数 S_a、S_b、S_c，上管导通取1，下管导通取0，则：

u_ia = S_a·U_dc - (S_a+S_b+S_c)·U_dc/3
u_ib = S_b·U_dc - (S_a+S_b+S_c)·U_dc/3
u_ic = S_c·U_dc - (S_a+S_b+S_c)·U_dc/3

开关函数模型把“开关动作”显式引入方程，是连接器件层与控制层的桥梁。由于 S_a、S_b、S_c 是0/1离散量，直接代入会得到分段非线性模型，无法用线性控制理论设计。工程上常用两种处理：一是用占空比 d_a、d_b、d_c 在一个开关周期内取平均，得到平均开关模型；二是保留开关函数并做傅里叶展开，分析开关频率及其边带谐波。前者用于控制器设计，后者用于谐波频谱预测。

四、小信号线性化：在稳态工作点附近展开

平均开关模型仍是双线性形式，因为 d_a·U_dc 是控制量与状态量的乘积。小信号线性化的做法是：先求稳态工作点，再在稳态点附近叠加小扰动，忽略二阶及以上乘积项。设稳态量为 D_d、D_q、I_d、I_q、U_dc，扰动量用“^”表示，则dq系小信号方程为：

L·dî_d/dt = û_id - û_sd - R·î_d + ωL·î_q
L·dî_q/dt = û_iq - û_sq - R·î_q - ωL·î_d
û_id = D_d·û_dc + U_dc·d̂_d
û_iq = D_q·û_dc + U_dc·d̂_q

线性化后，控制量 d̂_d、d̂_q 到电流 î_d、î_q 的传递函数可以写成标准二阶形式，交叉耦合项作为已知扰动前馈补偿。这样就能用Bode图、根轨迹等工具设计电流环带宽、相位裕度和谐波抑制增益。需要特别注意的是，线性化只在工作点附近有效；当SVG深度补偿导致 D_d、D_q 大幅变化时，同一组PI参数可能在不同工况下表现差异明显，因此实际工程中常按无功电流分段整定或采用增益调度。

五、三层模型的配合使用与工程判断

实际做SVG谐波抑制时，三层模型各有分工。abc模型用于确认物理量符号、正方向和实测波形是否一致；dq模型用于设计电流环和提取谐波特征频率；小信号模型用于校验闭环带宽、相位裕度以及谐波频率处的增益是否足够。一个常见的教学示例参数是：L=1.2mH，R=0.05Ω，U_dc=750V，电网线电压380V，开关频率10kHz。按此参数，电流环若设计为1kHz带宽，则5次、7次谐波在dq系中对应300Hz，处于带宽内，PI可提供约20dB以上增益；但11次、13次谐波对应600Hz，接近带宽边缘，单靠PI增益不足，需要并联谐振控制器在600Hz处提供高增益。若谐振控制器中心频率偏离实际谐波频率超过2Hz，补偿效果会明显下降，因此dq系中谐波频率的准确计算直接决定谐振参数。

判断模型是否可用，可以看三个指标：一是稳态时dq电流是否为常数，若存在明显6倍频波动，说明Park变换角度或锁相环存在误差；二是小信号模型预测的相位裕度与实际阶跃响应是否一致，若偏差超过10°，说明工作点偏离线性化范围；三是投入谐波补偿后，并网点电流THD是否从补偿前的例如8%降到5%以下，且各次谐波含有率是否按预期下降。只有这三项同时成立，才说明从abc到dq再到小信号的建模链条是自洽的。