📚 课程目录第4章峰值电流模式控制的系统建模

4. 峰值电流模式控制的系统建模

峰值电流模式（PCM）控制与电压模式最本质的差别，在于它把电感电流当作内环的被控量。要分析环路稳定性、设计补偿网络，就必须先建立一套能反映这一内环行为的小信号模型。本节围绕四个关键问题展开：功率级的小信号等效、采样保持效应带来的高频极点、电流环与电压环的双环结构，以及从控制量到输出电压的传递函数推导。

一、功率级小信号模型：从开关网络到受控源

在连续导通模式（CCM）下，Buck 变换器的开关网络可以用平均模型替代。设占空比为 d，电感电流平均值为 i_L，输入电压为 v_g，则开关节点平均电压为 d·v_g，输入侧平均电流为 d·i_L。对这两式在静态工作点附近做一阶泰勒展开，得到小信号关系：

v_sw(s) = D·v_g(s) + V_g·d(s)
i_g(s)  = D·i_L(s) + I_L·d(s)

其中大写字母表示静态工作点值，小写带波浪号表示小信号扰动量。这样，开关网络就被等效为一个变压器（变比 D:1）加上两个受控源：一个由 d(s) 控制的电压源 V_g·d(s)，一个由 d(s) 控制的电流源 I_L·d(s)。再串上电感 L、输出电容 C 与负载 R，就得到 Buck 功率级的小信号等效电路。

由该等效电路可解出占空比到输出电压的传递函数（电压模式下的控制到输出传递函数）：

G_vd(s) = V_g / [1 + s/(Q·ω_0) + (s/ω_0)^2]

ω_0 = 1/√(LC)          （LC 双重极点）
Q   = R·√(C/L)          （品质因数）

这个二阶模型在低频段增益为 V_g，在 ω₀ 处出现 -40dB/dec 的转折，相位迅速下滑到接近 -180°。若直接用它做电压模式补偿，需要 Type III 补偿器把相位抬回来。而峰值电流模式的价值，正是通过内环把电感电流“驯服”，使功率级从二阶近似降为一阶。

二、采样保持效应：内环的高频极点

峰值电流环并不是连续时间系统。控制器每个开关周期只在电感电流上升到峰值时做一次比较，相当于对电流波形进行“采样”。采样频率就是开关频率 f_sw。采样保持会引入一个额外的相位延迟，工程上常用一个右半平面或左半平面的高频极点来近似：

ω_s = π·f_sw        （采样极点角频率）
或等效为延迟：T_d ≈ 1/(2·f_sw)

这个极点通常位于 f_sw/2 附近，是电流环带宽的硬上限。设计时一般把电流环穿越频率限制在 f_sw/6 ~ f_sw/10，就是为了避开采样极点带来的相位损失。此外，当占空比 D > 0.5 时，固定斜率补偿不足会引发次谐波振荡，需要在模型中额外考虑斜坡补偿斜率 m_a 对电流环增益的修正。

三、双环结构：电流内环与电压外环

峰值电流模式是一个典型的双环系统。内环是电流环，它把电感电流峰值强制跟随误差放大器输出的控制信号 v_c；外环是电压环，它采样输出电压，与基准比较后经补偿器产生 v_c。两者嵌套关系可以用下面的信号流图表示。

图中可以看到，内环的反馈量是电感电流，外环的反馈量是输出电压。内环的响应速度远高于外环，因此在分析外环时，可以把内环近似为一个受控电流源：i_L(s) ≈ v_c(s) / R_i，其中 R_i 是电流采样增益。这样，功率级从原来的二阶 LC 网络变成了一个由电流源驱动的电容网络，控制到输出的传递函数近似为一阶：

G_vc(s) ≈ R / (1 + s·R·C)   （理想电流环近似）

这就是峰值电流模式最吸引人的地方：主极点由输出电容和负载决定，相位裕度容易做足，补偿器可以简化为 Type II 甚至积分器加零点。

四、控制到输出传递函数的完整推导

实际电流环并非理想。考虑采样极点、斜坡补偿和电感电流纹波，完整的控制到输出传递函数可以写成：

G_vc(s) = G_vd0 · (1 + s/ω_z) / [(1 + s/ω_p)·(1 + s/ω_s)]

其中：
G_vd0 = R·I_L / V_c        （低频增益，与工作点有关）
ω_p   = 1/(R·C)            （主极点，由负载和输出电容决定）
ω_z   = 1/(R_esr·C)        （ESR 零点）
ω_s   = π·f_sw             （采样极点）

推导思路是：先写出电流环的闭环增益 A_i(s)，它由采样增益、比较器增益和斜坡补偿共同决定；再把 d(s) = A_i(s)·v_c(s) 代入功率级小信号模型，消去占空比，最终得到 v_o(s)/v_c(s)。在低频段，电流环增益很大，d 几乎完全由 v_c 决定，因此功率级表现为一阶；在高频段，电流环增益下降，采样极点开始主导，模型又回到接近二阶的行为。

设计时可以用一个简单判据：若电流环穿越频率 f_ci 远高于电压环穿越频率 f_cv（通常要求 f_ci ≥ 5·f_cv），则双环可以解耦分析，先单独设计电流环，再按一阶模型设计电压环。若两者接近，就必须用完整双环模型做仿真验证。

注意：上述一阶近似只在 D < 0.5 且斜坡补偿充分时成立。当 D > 0.5 时，若补偿斜率 m_a 小于电感电流下降斜率 m₂ 的一半，电流环会出现次谐波振荡，传递函数中会出现一对右半平面极点，相位急剧恶化。此时必须增大 m_a，通常取 m_a ≥ m₂/2。

把上述模型落到具体数值上，可以更直观地判断。假设一个 Buck 变换器：V_g = 12V，V_o = 5V，I_o = 5A，L = 10μH，C = 220μF，R_esr = 20mΩ，f_sw = 300kHz。则 R = 1Ω，主极点 f_p = 1/(2π·1·220μ) ≈ 723Hz，ESR 零点 f_z = 1/(2π·0.02·220μ) ≈ 36kHz，采样极点 f_s = 150kHz。电压环穿越频率若设在 30kHz，则相位裕度主要受主极点和采样极点影响，补偿器只需在 723Hz 附近放一个零点、在 36kHz 附近放一个极点即可。这个例子说明，峰值电流模式的补偿设计比电压模式简单得多，但前提是电流环本身稳定且带宽足够。

总结本节要点：功率级小信号模型给出了 G_vd(s) 的二阶形式；采样保持效应引入 ω_s 高频极点，限制内环带宽；双环结构中内环把功率级降阶为一阶；完整控制到输出传递函数由低频增益、主极点、ESR 零点和采样极点共同构成。掌握这四个环节，才能为后续的补偿器设计和环路实测打下基础。