3. 输电网扩展规划的核心模型
输电网扩展规划的本质，是在满足未来负荷增长与可靠性要求的前提下，决定"在哪些节点之间、何时、建设何种电压等级与容量的线路"。要把这个工程问题转化为可求解的数学模型，必须先解决三件事：用什么物理模型描述电网运行状态、用什么数学结构描述网络拓扑、用什么变量和约束描述规划决策。本节围绕这三点展开。
一、直流潮流模型：规划阶段的主力工具
输电网规划的时间尺度通常为5～20年，需要反复求解数千次甚至上万次优化问题。交流潮流模型虽然精确，但其非线性方程使大规模优化难以收敛。因此工程上普遍采用直流潮流（DC Power Flow）模型作为规划主模型。
直流潮流的核心假设有三条：支路电阻远小于电抗（R ≪ X），节点电压幅值近似为1.0 p.u.，以及支路两端电压相角差很小（sinθ ≈ θ）。在此假设下，支路有功潮流只与两端相角差有关：
P_ij = (θ_i - θ_j) / x_ij
其中：P_ij 为支路 i-j 有功潮流（p.u.）
θ_i, θ_j 为节点电压相角（rad）
x_ij 为支路电抗（p.u.）
节点功率平衡：B·θ = P
B 为节点导纳矩阵（仅含电抗倒数），P 为节点注入功率向量该模型是线性的，可直接嵌入线性规划或混合整数线性规划。代价是忽略了无功、电压和无功损耗，因此规划结果必须再用交流潮流校核。工程实践中常见的做法是：用直流潮流做规划寻优，用交流潮流做方案校验，两者配合使用。
二、交流潮流模型：校核与精细分析
交流潮流模型基于节点功率平衡方程，每个节点有四个变量：有功注入 P、无功注入 Q、电压幅值 V、电压相角 θ。根据已知量的不同，节点分为三类：
- PQ节点：已知 P、Q，待求 V、θ，对应负荷节点。
- PV节点：已知 P、V，待求 Q、θ，对应有调压能力的发电机节点。
- 平衡节点：已知 V、θ，待求 P、Q，通常选主调频厂或大容量机组节点，承担全网功率平衡。
求解方法以牛顿-拉夫逊法为主，其迭代格式为 J·Δx = Δf，其中 J 为雅可比矩阵。规划阶段交流潮流主要用于：校验直流潮流方案是否存在电压越限、线路过载、无功不足；计算网损；评估N-1故障后的电压与潮流分布。
三、网络拓扑建模与节点-支路关联矩阵
电网的拓扑结构可以用图论语言精确描述。设网络有 n 个节点、m 条支路，则节点-支路关联矩阵 A 是一个 n×m 矩阵，其元素定义为：
A[i][k] = +1 节点 i 是支路 k 的起点
A[i][k] = -1 节点 i 是支路 k 的终点
A[i][k] = 0 节点 i 与支路 k 不相连关联矩阵是连接"拓扑"与"物理量"的桥梁。支路潮流向量 Pbranch 与节点注入向量 Pnode 满足 A·Pbranch = Pnode，即基尔霍夫电流定律的矩阵形式。在规划模型中，新建线路会改变 A 的维度和元素，因此 A 是随规划方案变化的动态矩阵。
下面这张图展示了本节四个核心模型要素之间的数据流与依赖关系：
四、规划模型中的决策变量与约束条件
输电网扩展规划通常建模为混合整数线性规划（MILP）。其决策变量分为两类：
- 投资决策变量 xk ∈ {0,1}：表示候选支路 k 是否投建。若投建则 xk=1，否则为0。这是规划模型的核心整数变量。
- 运行状态变量 θi（节点相角）和 Pk（支路潮流）：由直流潮流方程确定，属于连续变量。
约束条件主要包括四类：
| 约束类型 | 数学表达 | 工程含义 |
|---|---|---|
| 功率平衡约束 | B(x)·θ = Pgen - Pload | 每个节点注入功率等于流出功率 |
| 支路潮流约束 | |Pk| ≤ Pk,max · xk | 线路潮流不超过热稳极限，未投建线路潮流为0 |
| 发电机出力约束 | Pg,min ≤ Pg ≤ Pg,max | 机组有功出力上下限 |
| N-1安全约束 | 任意单一支路开断后仍满足上述约束 | 保证单一故障下系统不失稳、不越限 |
目标函数通常为最小化"投资成本 + 运行成本"的贴现值：
min Σ_k C_k · x_k + Σ_t Σ_g C_g · P_g,t
其中：C_k 为支路 k 的单位投资成本
C_g 为机组 g 的单位发电成本
t 为规划水平年需要特别注意的是，支路潮流约束中的 xk 乘积项使模型呈现"大M"形式，通常写作 |Pk| ≤ Pk,max·xk，当 xk=0 时强制潮流为零，当 xk=1 时恢复为常规热稳约束。这一处理是规划模型区别于运行模型的关键特征。
综上，直流潮流模型提供了线性化的物理基础，交流潮流模型承担校核职责，节点-支路关联矩阵将拓扑结构数学化，而决策变量与约束条件则把工程问题转化为可求解的优化问题。四者共同构成输电网扩展规划模型的核心骨架。