3. 动态系统建模基础
小扰动稳定分析之所以能形成一套统一的数学方法，根源在于电力系统可以被写成一组微分代数方程（DAE）。本节的任务不是推导某台发电机的详细模型，而是建立后续所有章节共用的“数学语言”：用什么量描述系统的动态记忆，方程如何分层，平衡点意味着什么，以及为什么可以在平衡点附近把非线性问题变成线性问题。
一、状态变量：系统“记忆”的载体
动态系统的核心特征是当前行为依赖历史。描述这种依赖关系的最小变量集合，就是状态变量。对电力系统而言，状态变量通常来自储能元件和具有惯性的控制环节，例如：
- 同步发电机转子角 δ 与转速偏差 Δω（转子运动方程）；
- 励磁系统、调速器、电力系统稳定器（PSS）中的一阶或二阶动态环节输出；
- 感应电动机的转差与磁链、动态负荷的内部状态；
- FACTS 装置、直流输电控制器的积分环节输出。
状态变量个数 n 决定了系统动态的阶数。选择状态变量有一条实用准则：给定 t₀ 时刻全部状态变量的值，再加上 t≥t₀ 的输入，就能唯一确定系统未来的全部行为。若某个量可由其他状态和代数变量瞬时算出，它就不应被选为状态变量，否则会引入冗余方程，导致雅可比矩阵奇异。
二、微分代数方程：把系统分成两层
电力系统的方程天然分成两类。第一类是微分方程，描述状态变量随时间演化，例如发电机转子运动方程：
dδ/dt = ω - ω₀
M·dω/dt = Pm - Pe - D·(ω - ω₀)其中 M 为惯性时间常数，D 为阻尼系数，Pm 为机械功率，Pe 为电磁功率。第二类是代数方程，描述网络约束和瞬时平衡关系，例如节点功率平衡方程：
P_i = Σ_j V_i·V_j·(G_ij·cosθ_ij + B_ij·sinθ_ij)
Q_i = Σ_j V_i·V_j·(G_ij·sinθ_ij - B_ij·cosθ_ij)把两类方程合并，得到标准 DAE 形式：
x' = f(x, y, u)
0 = g(x, y, u)其中 x∈Rⁿ 为状态变量，y∈Rᵐ 为代数变量（节点电压幅值与相角），u 为输入或参数。代数方程不含导数，意味着 y 由 x 和 u 瞬时决定，这正是“网络无记忆”的数学体现。需要特别注意的是，DAE 的雅可比矩阵结构为分块形式，其左下角为零块，这一结构直接决定了后续特征值分析中“降阶”与“全阶”方法的差别。
三、平衡点：小扰动分析的起点
平衡点（又称运行点、稳态解）是满足 x'=0 且 g=0 的点 (x₀, y₀)。在电力系统中，它对应潮流收敛后的稳态运行方式：发电机转子角差恒定、转速为同步速、各控制环节输出不再变化、节点电压满足功率平衡。平衡点必须通过潮流计算求得，而不是任意给定。
这里有一个容易被忽视的要点：平衡点不是唯一的。负荷水平、发电机出力分配、变压器分接头位置、无功补偿投入量不同，都会得到不同的 (x₀, y₀)。小扰动稳定分析必须明确“在哪个运行点上线性化”，因为 A 矩阵依赖平衡点。同一网络在重负荷下可能失稳，在轻负荷下却稳定，原因就在于平衡点改变了 A 的特征值分布。
四、线性化：从非线性到线性
设系统在平衡点附近受到小扰动，令 x = x₀ + Δx，y = y₀ + Δy，u = u₀ + Δu。对 f 和 g 在平衡点作一阶泰勒展开并略去高阶项：
Δx' = f_x·Δx + f_y·Δy + f_u·Δu
0 = g_x·Δx + g_y·Δy + g_u·Δu其中 f_x、f_y、g_x、g_y 分别为对应偏导数构成的雅可比子矩阵。若 g_y 非奇异（潮流雅可比可逆，即系统非奇异），可由第二式解出：
Δy = −g_y⁻¹·(g_x·Δx + g_u·Δu)代入第一式，得到仅含状态变量的线性系统：
Δx' = A·Δx + B·Δu
A = f_x − f_y·g_y⁻¹·g_x
B = f_u − f_y·g_y⁻¹·g_u这一步就是代数变量消去，也是电力系统小扰动分析最关键的化简。A 称为系统状态矩阵，其维数等于状态变量个数 n。当只关心无输入时的自由响应，令 Δu=0，问题归结为 Δx' = A·Δx，稳定性完全由 A 的特征值决定：所有特征值实部为负则渐近稳定，出现实部为正则不稳定，实部为零则需进一步判断。
五、一个可手算的示例
为看清线性化过程，取单机无穷大系统（SMIB）的经典二阶模型，忽略阻尼与励磁动态，状态变量为 x=[Δδ, Δω]ᵀ。设惯性时间常数 M=6 s，同步转矩系数 K₁=1.2 p.u.，则线性化后：
A = [ 0 1 ]
[ -K₁/M -D/M ]
代入 K₁=1.2, M=6, D=0：
A = [ 0 1 ]
[ -0.2 0 ]
特征方程：λ² + 0.2 = 0
特征值：λ = ±j·0.4472特征值为一对纯虚根，对应无阻尼等幅振荡，角频率 ω_n=0.4472 rad/s，约 0.0712 Hz。若加入 D=0.5 p.u.，则 A 的第二行第二列变为 −0.0833，特征方程 λ²+0.0833λ+0.2=0，特征值实部为 −0.0417，系统变为弱阻尼振荡，衰减时间常数约 24 s。这个例子说明：阻尼项直接进入 A 的对角元素，决定振荡衰减快慢；同步转矩系数决定振荡频率。实际多机系统中，A 的维数可达数百甚至上千，但特征值与稳定性的判据完全一致。
六、建模时容易出错的几个点
- 状态变量冗余：把可由代数方程直接算出的量当作状态变量，会使 g_y 或整体雅可比奇异，特征值出现虚假的无穷大或零根。
- 平衡点未收敛就线性化：潮流残差未降到 1e−8 以下时，f(x₀,y₀)≠0，线性化基准错误，A 矩阵不可信。
- 忽略限幅与切换：励磁顶值、PSS 输出限幅、变压器分接头死区在平衡点附近若处于饱和边界，线性化模型与实际不符，需按分段线性或切换系统处理。
- 单位与标幺值不一致：M、D、K 系数必须统一到同一基准容量与同一角频率基准下，否则特征值频率量纲错误。
- g_y 奇异：对应系统电压崩溃或孤岛运行，此时不能直接消去 Δy，需改用全阶 DAE 的广义特征值方法。