3. 轮式底盘运动学基础

井下机器人的轮式底盘要完成自主行走、定点停靠和轨迹跟踪，前提是控制器知道“轮子怎么转”与“车体怎么动”之间的定量关系。这一节围绕两类最常见的底盘构型展开：差速驱动与阿克曼转向，重点建立轮速到车体速度的映射，并说明正运动学与逆运动学在里程计中的用法。

一、先约定坐标系与符号

为避免后续公式符号混乱，本节统一采用如下约定：车体坐标系原点取后轴（差速底盘取两驱动轮轴心连线的中点），x 轴指向车头正前方，y 轴指向车体左侧，z 轴向上；车体线速度 v 沿 x 轴为正，角速度 ω 绕 z 轴逆时针（左转）为正。轮速以“轮子线速度”表示，左轮 v_L、右轮 v_R，向前为正。所有角度单位为弧度，时间单位为秒。井下巷道狭窄、路面有积水与泥浆，轮径磨损和打滑会直接影响映射精度，因此本节在推导之后会给出可落地的标定与修正思路。

二、差速驱动：两轮差速决定车体运动

差速底盘左右各一个驱动轮，通过两轮速度差实现转向。设轮距（左右轮接地点中心距）为 B，则车体线速度与角速度为：

v = (v_R + v_L) / 2
ω = (v_R - v_L) / B

反过来，已知期望的 v 与 ω，可求出左右轮应达到的速度，这就是逆运动学，也是速度指令下发的依据：

v_R = v + (B/2) · ω
v_L = v - (B/2) · ω

举例说明：某井下巡检底盘轮距 B = 0.60 m，要求以 v = 0.5 m/s 直行，则 v_L = v_R = 0.5 m/s；若要求原地左转 ω = 0.4 rad/s、v = 0，则 v_R = +0.12 m/s、v_L = −0.12 m/s，即右轮前进、左轮后退。若同时要求 v = 0.3 m/s、ω = 0.2 rad/s，则 v_R = 0.36 m/s、v_L = 0.24 m/s。以上数值为教学示例，实际参数需按具体底盘测定。

差速模型有一个重要推论：当 v_L = −v_R 时车体绕两轮中点原地旋转，旋转中心在车体中心；当 v_L = 0 时，车体绕左轮接地点转动。理解瞬时转动中心（ICR）的位置，有助于判断窄巷道掉头时的最小回转空间。井下巷道宽度常只有 2～3 m，若底盘轮距 0.6 m、车长 1.2 m，原地旋转所需扫掠直径约为车体对角线，需提前核算是否与巷道壁、管线、皮带架冲突。

三、阿克曼转向：前轮转角约束车体轨迹

阿克曼底盘由后轮驱动、前轮转向（井下部分运输车、巡检车采用此构型）。设轴距为 L，前轮等效转角为 δ（左转为正），后轴中心车速为 v，在纯滚动无侧滑假设下：

ω = v · tan(δ) / L
R = L / tan(δ)

其中 R 为后轴中心到瞬时转动中心的转弯半径。阿克曼几何要求内外前轮转角不同，内侧轮转角大于外侧轮，理想关系为 cot(δ_o) − cot(δ_i) = B_f/L，B_f 为前轮主销间距。工程上常用“等效单车模型”把两前轮简化为一个位于后轴中心前方的虚拟轮，便于控制器计算。

示例：L = 1.0 m，δ = 20°（约 0.349 rad），v = 0.4 m/s，则 tan δ ≈ 0.364，ω ≈ 0.146 rad/s，R ≈ 2.75 m。可见阿克曼底盘的转弯半径受转角上限约束，最小转弯半径由机械限位决定，通常明显大于差速底盘，这是选型时必须权衡的因素。

四、轮速与车体速度的映射关系

无论哪种构型，里程计的核心都是“轮速→车体速度→位姿积分”。差速底盘由编码器测得左右轮角速度 ω_L、ω_R（rad/s），先换算为线速度 v = ω·r（r 为有效滚动半径），再代入第二节公式得到 v、ω，最后按 Δt 积分：

x += v · cos(θ) · Δt
y += v · sin(θ) · Δt
θ += ω · Δt

阿克曼底盘则需由后轮轮速得到 v，由转向角传感器得到 δ，再算 ω 并积分。这里的关键是“有效滚动半径”而非新胎几何半径：井下泥泞路面下陷、胎面磨损、载荷变化都会使有效半径偏小，导致里程计偏大。工程上常用“直线标定法”：在已知长度（如 20 m 巷道）上直行，记录编码器累计脉冲数 N，则 r_eff = S / (N · 2π / 每转脉冲数)。

五、模型选择与误差来源

差速模型结构简单、可实现零半径转向，适合狭窄巷道巡检与原地调整；但其位姿估计对轮距 B 和轮径 r 敏感，横向打滑会直接造成航向漂移。阿克曼模型更接近真实车辆、乘坐舒适、适合中高速运输，但转弯半径大、低速时转向执行器响应滞后会影响轨迹精度。两者共同的误差来源包括：轮径不一致、轮距标定误差、编码器分辨率、路面滑移、积分累积漂移。实践中常以 IMU 或激光雷达观测对轮式里程计做融合校正，而运动学模型提供的是融合前的预测基准。

六、从模型到可执行参数

把上述关系落到代码里，通常写成两个函数：正运动学由轮速求 v、ω，逆运动学由 v、ω 求轮速。下发速度指令前，务必检查轮速是否超出电机与驱动器的允许范围，尤其是原地转向时单侧轮速可能达到直行的数倍。里程计积分建议使用中点法或更高阶积分，减小大转角下的离散误差。对于井下长距离巷道，建议每行驶 50～100 m 利用已知标志物（如巷道编号牌、锚杆排距）做一次位置校正，避免纯轮式积分漂移累积到无法接受的程度。

掌握这两类模型后，后续的里程计校准、打滑补偿与多传感器融合才有明确的数学基础：所有校正本质上都是在修正 v、ω 的估计，或修正 r、B、L 这几个几何参数。