3. 矿井通风网络拓扑建模

通风线路图是矿井通风管理的基础资料，但它本质上是一张“示意图”：巷道有长短、有拐弯、有断面变化，风流在其中的沿程阻力和局部阻力各不相同。而通风网络解算关心的是另一套东西——风流从哪里来、到哪里去、在哪分岔、在哪汇合、各条通路之间如何相互影响。拓扑建模的任务，就是把前者抽象成后者：把连续的巷道系统压缩为有限个节点和分支，用有向图表达风流方向，再用矩阵把连接关系写成计算机可处理的形式。本节按“定节点—划分支—定方向—建矩阵”的顺序展开，并以一个简化示例贯穿说明。

一、节点与分支的划分原则

节点是风流状态发生“可分辨变化”的位置，通常取以下三类位置：井筒与井底车场的连接处、主要巷道的分岔点与汇合点、风量或风阻发生显著变化的断面（如风窗、风门、风机安装处、采区进出口）。分支则是两个相邻节点之间的一段巷道或一组并联巷道，具有统一的风阻值。划分时把握两条实用原则：一是同一分支内不应再有分岔或汇合，否则风量沿程变化，无法用单一流量描述；二是节点不宜过密，一段长巷道中间没有分岔就不必设节点，否则网络规模膨胀而信息量不增。

需要特别注意的是，回风井口、主要通风机扩散器出口、地表大气这些位置，通常合并为一个“大气节点”，作为整个网络的参考节点。这样处理的好处是：全网只有一个压力基准，进风井口与回风井口都连到同一节点，网络成为闭合图，便于后续回路分析。

二、有向图表达与方向约定

给每条分支规定一个正方向，即风流从起点节点指向终点节点。方向约定必须在全章乃至全课程中保持一致，否则关联矩阵的符号会混乱。工程上常用两种约定：按实际风流方向定向，或按“进风侧→回风侧”的固定习惯定向。前者直观，后者在风机反风或风流反向时不必改图。本课程统一采用按设计风流方向定向，若某分支实际风流与设定方向相反，则其风量取负值，这一约定在后续解算中始终有效。

下图给出一个简化矿井的拓扑示例：新鲜风由进风井 A 进入，经井底车场节点 1 分两路，一路经运输大巷到采区节点 2，另一路经轨道上山到节点 3；两路在采煤工作面附近汇合后经回风巷到节点 4，再由回风井 B 排至大气节点 0。图中同时标出了分支编号与方向。

三、关联矩阵的建立方法

关联矩阵描述“节点—分支”的衔接关系。设网络有 n 个节点、m 条分支，则关联矩阵 A 为 n×m 阶。元素 a_ij 的取值规则为：分支 j 以节点 i 为起点时取 +1，以节点 i 为终点时取 −1，与节点 i 不相连时取 0。以图中示例（节点 0、1、2、3、4，分支 e1～e6）为例，按行对应节点、列对应分支，可写出：

        e1   e2   e3   e4   e5   e6
节点0   -1    0    0    0    0   +1
节点1   +1   -1   -1    0    0    0
节点2    0   +1    0   -1    0    0
节点3    0    0   +1    0   -1    0
节点4    0    0    0   +1   +1   -1

观察该矩阵可发现两个重要性质。其一，每一列恰有一个 +1 和一个 −1，因为每条分支有且仅有一个起点和一个终点，这正是有向图关联矩阵的基本特征。其二，各行之和为零，即矩阵行向量线性相关，秩最多为 n−1。这意味着在写节点风量平衡方程时，只需取其中 n−1 个独立方程，另一个可由总和为零自动满足。工程计算中通常删去大气节点所在行，得到降阶关联矩阵 A₀，其秩为 n−1，恰好与独立节点数对应。

关联矩阵的直接用途是表达节点风量平衡：设分支风量列向量为 Q，则 A·Q = 0 即表示每个节点流入等于流出。对示例中节点 1，展开得 Q_e1 − Q_e2 − Q_e3 = 0，物理意义一目了然。这也是网络解算中连续性方程的矩阵形式。

四、回路矩阵的建立方法

回路矩阵描述“分支—回路”的归属关系。先要选定一组独立回路，其数目等于 m − n + 1，即网络的独立网孔数。对示例网络，m = 6、n = 5，独立回路数为 6 − 5 + 1 = 2。通常借助生成树来选取：取一棵连接全部节点的树（如 e1、e2、e4、e6），树支数为 n−1 = 4，余下的连支 e3、e5 各对应一个独立回路。回路矩阵 B 为 (m−n+1)×m 阶，元素 b_kj 取 +1 表示分支 j 在回路 k 中且方向与回路绕行方向一致，取 −1 表示方向相反，取 0 表示不在该回路中。

以连支 e3 确定的回路为例，绕行路径为 e3 → e5 → e6 → e1（回到起点），若规定绕行方向与 e3 同向，则各分支符号为：e3 取 +1，e5 取 +1，e6 取 +1，e1 取 −1，e2、e4 取 0。同理，连支 e5 确定的回路为 e5 → e6 → e1 → e2 → e4，符号依次为 +1、+1、−1、−1、+1（e3 为 0）。写成矩阵即：

        e1   e2   e3   e4   e5   e6
回路1   -1    0   +1    0   +1   +1
回路2   -1   -1    0   +1   +1   +1

回路矩阵的核心用途是表达回路风压平衡：沿任一闭合回路，各分支通风阻力（含风机风压）的代数和为零，写成矩阵形式即 B·H = 0，其中 H 为分支风压（阻力）列向量。这正是回路风量法（如斯考德—恒斯雷法）的方程基础。此外，关联矩阵与回路矩阵之间存在正交关系 A·B^T = 0，可作为建模正确性的自检手段：若手工建立的 A、B 满足该式，说明节点划分、分支定向与回路选取相互一致。

需要强调的是，拓扑模型只承载“连接关系”，不承载风阻数值。同一张拓扑图，配上不同的分支风阻 R 和风机特性，就对应不同的风量分配结果。因此建模阶段应把节点编号、分支编号、起终点、风阻值、是否含风机等信息整理成分支属性表，与关联矩阵、回路矩阵配套使用。实际矿井网络动辄数百条分支，手工建矩阵不现实，通常由通风网络解算软件依据分支属性表自动生成 A 与 B，但理解其生成规则，才能在出现“矩阵奇异”“回路不收敛”等问题时快速定位是节点漏设、分支方向矛盾，还是回路选取不当。