4. 瑞典圆弧法与简化毕肖普法

在露天矿最终边坡的极限平衡分析中，瑞典圆弧法（又称普通条分法、Fellenius法）与简化毕肖普法是两种最基础、使用最广泛的圆弧滑面分析方法。二者都建立在“滑动面为圆弧”这一几何假设之上，把滑体离散为若干竖直土条，通过静力平衡求解安全系数，但对条间力的处理方式截然不同，由此带来精度与适用性的差异。理解这两种方法的假设边界和推导逻辑，是正确选用软件模块、判读计算结果的前提。

一、共同的几何与力学假设

两种方法都假定潜在滑面是一段圆弧，圆心为 O、半径为 R，滑体绕圆心发生刚体转动趋势。将滑体沿竖直方向切成 n 个条块，第 i 条宽度为 b_i、底面倾角为 α_i（底面切线与水平面夹角，规定滑面倾向与滑动方向一致时取正）、底面长度为 l_i = b_i/cosα_i、条重为 W_i。滑面上可动用的抗剪强度按莫尔—库仑准则为 τ_f = c′ + σ′tanφ′，其中 σ′ 为滑面法向有效应力。安全系数 F 定义为滑面上总抗剪强度与总剪应力之比，即沿整个滑弧积分后的抗力矩与滑动力矩之比。这一“强度折减”定义在两种方法中完全一致，差别只在于如何由条块平衡求出滑面法向力 N′。

二、瑞典圆弧法：忽略条间力

瑞典圆弧法最核心的简化是：假定相邻土条之间的作用力（法向条间力 E 与切向条间力 X）对条块自身的平衡不起控制作用，在求底面法向力时将其忽略。于是对第 i 条块沿底面法向投影，直接得到：

N′_i = W_icosα_i − u_il_i

其中 u_i 为底面孔隙水压力。对圆心取矩，滑动力矩由各条重提供，抗力矩由各条底面抗剪力提供，整理得瑞典法的安全系数公式：

        Σ [ c′_i·l_i + (W_i·cosα_i − u_i·l_i)·tanφ′_i ]
F = ─────────────────────────────────────────────────────
                    Σ ( W_i·sinα_i )

该式右端不含 F 的隐函数项，可直接一次算出，计算极为简便，这也是它在早期手算和粗略估算中流行的原因。但“忽略条间力”在物理上并不成立：实际条块之间存在明显的水平推力和摩擦力，忽略后会使滑面法向力被低估，对抗剪强度的估计偏保守，通常给出偏低的安全系数。当滑弧较深、孔隙水压力较高、边坡几何复杂时，误差可达 10%～20%，甚至更多。因此瑞典法适合初步筛查、均质简单边坡的快速估算，不宜作为最终设计依据。

三、简化毕肖普法：只保留水平条间力

毕肖普法承认条间力的存在，但为求解方便作了关键简化：假定条间切向力 X_i = X_i+1，即相邻条块的切向条间力相互抵消，只保留水平条间力 E。这样每个条块的未知量减少到可解程度。对第 i 条块取竖向力平衡：

W_i − N′_icosα_i − u_il_icosα_i − (c′_il_i + N′_itanφ′_i)sinα_i/F = 0

解出 N′_i 后代回整体力矩平衡，得到简化毕肖普法的安全系数表达式：

              Σ { [c′_i·b_i + (W_i − u_i·b_i)·tanφ′_i] / m_αi }
F = ─────────────────────────────────────────────────────────────
                        Σ ( W_i·sinα_i )

其中  m_αi = cosα_i + (sinα_i·tanφ′_i) / F

注意 m_αi 中含有待求的 F，因此该式是隐式方程，需迭代求解：先假定一个初值 F₀（常取瑞典法结果），代入右端算得 F₁，再以 F₁ 回代，直至 |F_k+1 − F_k| 小于容许误差（如 0.001）。通常 4～6 次迭代即可收敛。由于保留了水平条间力，毕肖普法对滑面法向力的估计更接近真实，结果一般比瑞典法高，且与更严格的摩根斯顿—普赖斯法、斯宾塞法十分接近，被公认为圆弧滑面条件下精度与工作量平衡最好的方法之一。

四、适用条件与选用建议

瑞典法适用于均质或近似均质、滑面较浅、孔压不高的简单边坡，用于方案初筛和数量级判断；当边坡由多层土构成、存在软弱夹层、地下水位较高或需要提交正式稳定性结论时，应采用简化毕肖普法。需要强调的是，两种方法都只适用于圆弧滑面；若现场存在沿软弱结构面、断层带或层面控制的非圆弧滑动，应改用摩根斯顿—普赖斯法、斯宾塞法或通用条分法，不能强行套用圆弧公式。此外，毕肖普法在 m_αi 接近 0 或为负（α 很大且 φ′ 很大）时可能出现数值问题，此时应检查条块划分是否合理。

五、计算步骤与示例

以某露天矿最终边坡为例（以下为教学示例参数，非实测）：坡高 H = 120 m，坡角 β = 40°，均质砂质泥岩，重度 γ = 22 kN/m³，黏聚力 c′ = 30 kPa，内摩擦角 φ′ = 22°，地下水位以下取孔压比 r_u = 0.25。按如下步骤计算：

1. 确定滑面：用圆弧网格搜索或指定圆心—半径组合，得到候选滑弧，按 0.5～1.0 m 宽度划分为若干条块，条块数一般取 10～30 个，坡脚与坡顶附近适当加密。
2. 逐条计算几何量：量取各条 b_i、底面中点高程、α_i，计算 W_i = γ·b_i·h_i、l_i = b_i/cosα_i、u_i = r_u·γ·h_wi。
3. 瑞典法试算：按显式公式求 F_s，作为初值与下限参考。
4. 毕肖普迭代：以 F_s 为初值，逐条算 m_αi，代入隐式公式得新 F，反复迭代至收敛。
5. 结果判读：比较两法差值，若毕肖普法 F 明显高于瑞典法且差值在合理范围（一般 5%～15%），说明条间力影响显著；再对多个滑弧重复上述过程，取最小 F 作为该边坡的稳定性系数，对照设计安全系数标准判定是否满足要求。

掌握这两种方法的关键，不在于背公式，而在于清楚“忽略了什么、保留了什么、因此结果偏向哪一侧”。瑞典法以精度换简便，毕肖普法以迭代换可靠，二者配合使用，既能快速把握边坡稳定性的量级，又能为最终设计提供可信依据。