2. 指数分布定义：概率密度函数 PDF、累积分布函数 CDF、生存函数 R(t) 的数学表达式
指数分布是连续概率分布中最基础、应用最广的分布之一，其核心特征是无记忆性。在可靠性工程中，它专门用于描述恒定失效率（CFR）场景。本节将严格定义其三大核心函数：概率密度函数（PDF）、累积分布函数（CDF）和生存函数（Reliability Function, R(t)）。
2.1 核心参数与符号约定
在正式给出公式前，先统一符号体系：
| 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|
| λ (lambda) | 失效率（故障率），恒定值 | 次/单位时间（如 1/h） |
| t | 时间变量，t ≥ 0 | 小时、周期等 |
| θ (theta) | 平均故障间隔时间（MTBF），θ = 1/λ | 单位时间 |
工程习惯：在可靠性领域，通常使用 λ 作为分布参数；在统计推断中，有时也使用尺度参数 θ。两者互为倒数，切勿混淆。
2.2 概率密度函数（PDF）
指数分布的 PDF 描述了在某一时刻 t 发生故障的瞬时概率密度。其数学表达式为：
f(t) = λ · e^(-λt), t ≥ 0, λ > 0其中：
- λ 是失效率参数，控制分布的陡峭程度；
- e 是自然对数的底数（约 2.71828）；
- 当 t = 0 时，f(0) = λ，即初始时刻的故障密度等于失效率本身；
- 当 t → ∞ 时，f(t) → 0，表示长期后故障概率趋近于零。
PDF 关键特征：指数分布的 PDF 是严格单调递减的。这意味着产品在早期发生故障的概率密度最高，随着时间推移，故障密度呈指数级衰减。这与恒定失效率的直觉一致——每个时刻的故障风险相同，但幸存者越来越少。
2.3 累积分布函数（CDF）
CDF 表示产品在时间 t 之前发生故障的概率，即不可靠度 F(t)。通过对 PDF 从 0 到 t 积分得到：
F(t) = P(T ≤ t) = ∫₀ᵗ λ · e^(-λτ) dτ = 1 - e^(-λt), t ≥ 0CDF 的工程含义：
- F(0) = 0：在初始时刻，产品尚未工作，故障概率为 0；
- F(∞) = 1：随着时间趋于无穷，故障必然发生；
- F(t) 是 t 的单调递增函数，增长速率由 λ 决定。
2.4 生存函数（可靠性函数 R(t)）
生存函数是可靠性工程中最核心的指标，表示产品在时间 t 之后仍然正常工作的概率。它与 CDF 互补：
R(t) = P(T > t) = 1 - F(t) = e^(-λt), t ≥ 0生存函数的工程解读：
- R(0) = 1：产品在初始时刻 100% 可靠；
- R(∞) = 0：长期后可靠度趋近于零；
- 当 t = MTBF = 1/λ 时，R(1/λ) = e^(-1) ≈ 0.368，即产品工作到平均寿命时，仅有约 36.8% 的幸存率。
常见误区：不要将 R(t) 与 PDF 混淆。PDF 是瞬时密度，R(t) 是累积生存概率。例如，当 λ = 0.01/h 时，在 t = 100h 处，f(100) = 0.01 × e^(-1) ≈ 0.00368，而 R(100) = e^(-1) ≈ 0.368。两者数值和含义完全不同。
2.5 三大函数关系总览
下表总结了指数分布三大核心函数的数学形式与关键属性：
| 函数名称 | 数学表达式 | 取值范围 | 单调性 | 工程含义 |
|---|---|---|---|---|
| PDF f(t) | λ · e^(-λt) | [0, λ] | 严格递减 | 瞬时故障密度 |
| CDF F(t) | 1 - e^(-λt) | [0, 1] | 严格递增 | 不可靠度（累积故障概率） |
| 生存函数 R(t) | e^(-λt) | [0, 1] | 严格递减 | 可靠度（幸存概率） |
三者之间的核心关系为：R(t) = 1 - F(t)，且 f(t) = -dR(t)/dt。这意味着生存函数的负导数就是概率密度函数。
2.6 指数分布三大函数关系图
下图直观展示了当 λ = 0.5 时，PDF、CDF 和生存函数之间的几何关系：
2.7 指数分布函数层级结构
下图以架构图形式展示指数分布三大函数之间的数学推导关系与工程映射：
记忆口诀：“指数分布三兄弟，PDF 是源头，CDF 是累积，R(t) 是互补。失效率 λ 是灵魂，e 的负 λt 是骨架。” 掌握这三者之间的微分与积分关系，是后续进行可靠性评估、寿命预测和加速试验数据分析的基础。