3. 概率论基础回顾：随机变量、概率密度函数、累积分布函数、分位数

在小样本可靠性评估中，我们经常需要处理寿命数据、失效时间或强度参数。这些数据本质上具有随机性，因此必须借助概率论的语言来描述和建模。本节将系统回顾四个核心概念：随机变量、概率密度函数（PDF）、累积分布函数（CDF）以及分位数。这些概念是后续推导置信下限、构建统计量的基石。

3.1 随机变量：从样本空间到实数

随机变量（Random Variable, RV）是将随机试验的结果映射到实数轴上的函数。根据取值特性，分为两类：

3.2 概率密度函数（PDF）与概率质量函数（PMF）

对于连续型随机变量 X，其概率密度函数 f(x) 描述了在某个特定点附近的“概率密度”。概率本身由密度曲线下的面积给出：

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

对于离散型随机变量，使用概率质量函数（PMF）p(x) = P(X = x)。

PDF 必须满足两个基本性质：

1. 非负性： f(x) ≥ 0 对所有 x 成立。
2. 归一性： ∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1。

3.3 累积分布函数（CDF）

累积分布函数 F(x) 给出了随机变量 X 小于或等于某个值 x 的概率：

F(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt

CDF 具有以下关键特性：

• 单调非递减： 若 x₁ < x₂，则 F(x₁) ≤ F(x₂)。
• 边界值： lim_x→-∞ F(x) = 0，lim_x→+∞ F(x) = 1。
• 右连续： 对连续型随机变量，F(x) 处处连续。

3.4 分位数：逆概率与可靠性阈值

分位数（Quantile）是 CDF 的反函数。对于给定的概率 p（0 < p < 1），p 分位数 x_p 定义为：

x_p = F^{-1}(p)  即  P(X ≤ x_p) = p

在可靠性工程中，最常用的分位数包括：

3.5 关键概念关系总结

下表梳理了四个概念之间的逻辑链条与数学关系：