📚 课程目录第2章基本概念

2. 基本概念：生存时间、事件、删失、截尾、生存函数、风险函数、累积风险函数

在寿命数据分析中，理解核心概念是构建模型和进行推断的基础。本节将系统定义生存分析中的六个关键术语，并阐明它们之间的逻辑关系。

2.1 核心术语定义

术语	英文	定义	示例
生存时间	Survival Time	从起始事件到终点事件发生所经历的时间长度。	患者从确诊到死亡的天数；设备从安装到故障的小时数。
事件	Event	研究者关心的终点结果，通常为“失败”或“死亡”。	死亡、疾病复发、设备失效、客户流失。
删失	Censoring	由于观察结束或失访，只知道生存时间大于某个值，而不知道确切时间。	研究结束时患者仍存活；患者中途退出试验。
截尾	Truncation	由于研究设计或数据收集方式，某些个体根本未被观察到。	只纳入存活超过30天的患者（左截尾）；只记录故障发生在100小时内的设备（右截尾）。
生存函数	Survival Function	个体生存时间超过时间 t 的概率，记为 S(t)。	S(365) = 0.85 表示患者存活超过1年的概率为85%。
风险函数	Hazard Function	在时刻 t 仍存活的个体，在 t 瞬间发生事件的瞬时风险率，记为 h(t)。	h(t) 高表示该时刻风险大，如术后早期。
累积风险函数	Cumulative Hazard Function	风险函数从 0 到 t 的积分，记为 H(t)，反映累积风险。	H(t) = -ln[S(t)]，常用于诊断模型拟合。

  关键区分：删失是“知道部分信息但不知道确切时间”；截尾是“完全不知道这个个体的存在”。两者处理方式截然不同。

2.2 删失与截尾的详细分类

删失类型

右删失（最常见）：只知道生存时间大于某个值。例如：研究结束时患者未发生事件。
左删失：只知道生存时间小于某个值。例如：只知道患者在某个时间点之前已发生事件，但具体时间未知。
区间删失：只知道事件发生在某个时间区间内。例如：两次随访之间发生事件。

截尾类型

左截尾：个体在进入研究前已存活了一段时间，但未被记录。例如：只研究存活超过30天的患者。
右截尾：个体在某个时间点之后才可能被观察到。例如：只记录故障发生在100小时内的设备。

记忆技巧：删失是“知道存在但时间不精确”；截尾是“根本不知道存在”。

2.3 生存函数与风险函数的关系

生存函数 S(t) 和风险函数 h(t) 是生存分析中最核心的两个函数，它们通过数学公式紧密关联：

S(t) = P(T > t)                     # 生存函数
h(t) = lim_{Δt→0} P(t ≤ T < t+Δt | T ≥ t) / Δt   # 风险函数
H(t) = ∫₀ᵗ h(u) du                 # 累积风险函数
S(t) = exp[-H(t)]                   # 生存函数与累积风险函数的关系
h(t) = -d/dt [ln S(t)]              # 风险函数与生存函数的关系

这些关系表明：只要知道其中一个函数，就可以推导出其他两个。在实际数据分析中，我们通常先估计生存函数（如 Kaplan-Meier 法），然后通过变换得到风险函数和累积风险函数。

2.4 概念关系图

2.5 实际数据示例

以下是一个典型的右删失生存数据示例，展示如何记录生存时间和删失状态：

患者ID	生存时间（天）	事件（1=死亡，0=删失）	解释
001	120	1	患者在120天时死亡，观察到确切事件时间
002	365	0	研究结束时患者仍存活，生存时间 > 365天（右删失）
003	200	0	患者在200天时失访，生存时间 > 200天（右删失）
004	90	1	患者在90天时死亡，观察到确切事件时间
005	450	0	研究结束时患者仍存活，生存时间 > 450天（右删失）

常见误区：不要将删失数据视为“缺失数据”直接删除。删失数据提供了“生存时间至少为某个值”的重要信息，删除它们会导致生存概率被系统性低估。

2.6 生存函数与风险函数的直观理解

为了更直观地理解这两个核心函数，我们通过一个简单的 SVG 图展示它们的典型形状：

2.7 本章小结

生存时间和事件是生存分析的基本观测数据。
删失和截尾是数据收集中的特殊机制，必须正确处理以避免偏差。
生存函数 S(t) 描述生存概率随时间的变化，是生存分析中最常用的描述性工具。
风险函数 h(t) 描述瞬时风险率，有助于理解事件发生的时间模式。
累积风险函数 H(t) 是风险函数的积分，与生存函数存在一一对应关系。
理解这些基本概念是后续学习 Kaplan-Meier 估计、Cox 比例风险模型和极大似然估计的基础。