2. 失效率函数定义
失效率函数（Hazard Function）是可靠性工程中描述产品瞬时失效风险的核心工具。与可靠度函数 \( R(t) \) 关注“存活概率”、概率密度函数 \( f(t) \) 关注“失效密度”不同，失效率函数 \(\lambda(t)\) 回答的是：“一个产品工作到时刻 \( t \) 尚未失效，在随后的单位时间内发生失效的条件概率”。
2.1 数学定义
设 \( T \) 为产品寿命（非负随机变量），其累积分布函数为 \( F(t) = P(T \le t) \)，可靠度函数为 \( R(t) = 1 - F(t) \)，概率密度函数为 \( f(t) = \frac{dF(t)}{dt} \)。
失效率函数 \(\lambda(t)\) 的严格数学定义为：
\[ \lambda(t) = \lim_{\Delta t \to 0^+} \frac{P(t < T \le t + \Delta t \mid T > t)}{\Delta t} \]利用条件概率公式展开：
\[ \lambda(t) = \lim_{\Delta t \to 0^+} \frac{P(t < T \le t + \Delta t)}{P(T > t) \cdot \Delta t} = \frac{1}{R(t)} \cdot \lim_{\Delta t \to 0^+} \frac{F(t + \Delta t) - F(t)}{\Delta t} = \frac{f(t)}{R(t)} \]2.2 物理意义
失效率函数 \(\lambda(t)\) 的物理意义可从以下三个维度理解：
| 维度 | 解释 | 工程示例 |
|---|---|---|
| 瞬时风险 | 产品在时刻 \( t \) 仍正常工作的条件下，单位时间内发生失效的瞬时概率 | 某轴承工作到 1000 小时时的失效率为 0.0005/小时，意味着下一个小时失效概率约为 0.05% |
| 老化指示 | \(\lambda(t)\) 随时间的变化趋势直接反映产品是否进入耗损期 | 电子元件早期 \(\lambda(t)\) 递减（早期失效），随后恒定（偶然失效），最后递增（耗损失效） |
| 比较基准 | 不同设计或批次的产品可在相同时间点比较 \(\lambda(t)\) 值，评估可靠性优劣 | 改进工艺后，某继电器在 5000 小时处的 \(\lambda(t)\) 从 0.001 降至 0.0003 |
2.3 微分关系推导
从 \(\lambda(t) = f(t) / R(t)\) 出发，利用 \( f(t) = -\frac{dR(t)}{dt} \)，可推导出失效率函数与可靠度函数之间的微分关系：
\[ \lambda(t) = \frac{-\frac{dR(t)}{dt}}{R(t)} = -\frac{d}{dt} \left[ \ln R(t) \right] \]对等式两边从 0 到 \( t \) 积分：
\[ \int_0^t \lambda(\tau) d\tau = -\ln R(t) \quad \Longrightarrow \quad R(t) = \exp\left[ -\int_0^t \lambda(\tau) d\tau \right] \]定义累积失效率函数 \( \Lambda(t) = \int_0^t \lambda(\tau) d\tau \)，则：
\[ \boxed{R(t) = e^{-\Lambda(t)}}, \quad \boxed{f(t) = \lambda(t) e^{-\Lambda(t)}} \]2.4 三函数关系总览
可靠度函数 \( R(t) \)、概率密度函数 \( f(t) \) 与失效率函数 \(\lambda(t)\) 之间的双向转换关系可总结如下表：
| 已知函数 | 求 \( R(t) \) | 求 \( f(t) \) | 求 \( \lambda(t) \) |
|---|---|---|---|
| \( R(t) \) | — | \( f(t) = -\frac{dR(t)}{dt} \) | \( \lambda(t) = -\frac{d}{dt}\ln R(t) \) |
| \( f(t) \) | \( R(t) = \int_t^\infty f(\tau) d\tau \) | — | \( \lambda(t) = \frac{f(t)}{\int_t^\infty f(\tau) d\tau} \) |
| \( \lambda(t) \) | \( R(t) = \exp\left[-\int_0^t \lambda(\tau) d\tau\right] \) | \( f(t) = \lambda(t) \exp\left[-\int_0^t \lambda(\tau) d\tau\right] \) | — |
2.5 函数关系流程图
下图直观展示了 \( R(t) \)、\( f(t) \)、\( \lambda(t) \) 三者之间的微分与积分转换路径：
2.6 威布尔分布下的失效率函数
对于两参数威布尔分布，其失效率函数具有简洁的幂函数形式：
\[ \lambda(t) = \frac{\beta}{\eta} \left( \frac{t}{\eta} \right)^{\beta - 1}, \quad t \ge 0 \]其中：
- \(\beta\)（形状参数）：决定失效率曲线的形状
- \(\eta\)（尺度参数）：决定时间尺度，也称特征寿命
形状参数 \(\beta\) 对失效率趋势的影响：
| \(\beta\) 取值 | \(\lambda(t)\) 趋势 | 物理含义 | 典型场景 |
|---|---|---|---|
| \(\beta < 1\) | 递减 | 早期失效期，失效率随时间下降 | 电子元器件老化筛选、软件缺陷修复 |
| \(\beta = 1\) | 恒定 | 偶然失效期，失效率为常数 \(1/\eta\) | 指数分布特例，随机失效主导 |
| \(\beta > 1\) | 递增 | 耗损失效期，失效率随时间上升 | 机械磨损、材料疲劳、绝缘老化 |
2.7 不同形状参数下的失效率曲线
下图对比了相同尺度参数 \(\eta=1000\) 下，不同形状参数 \(\beta\) 对应的失效率函数曲线：