4. 增益计算与分析：第一级增益推导、第二级增益推导、总增益公式与电阻匹配

好，咱们进入正题。三运放结构，说白了就是个精密差分放大器。很多教材一上来就扔公式，搞得人一头雾水。我个人习惯，先拆解，再组合。今天我们就一级一级地啃。

4.1 第一级增益推导：差分输入，单端输出？不，是差分输出

先看第一级，也就是输入级。它由两个运放A1、A2组成，中间跨接一个电阻RG。很多人第一眼会以为这是两个独立的跟随器，其实不是。

关键点：第一级输出的是差分信号，不是单端信号。两个输出端Vout1和Vout2，它们之间的差值才是我们关心的。

我们来推导一下。假设输入信号是Vin+和Vin-。根据运放的虚短特性，A1的反相输入端电压等于Vin+，A2的反相输入端电压等于Vin-。那么，流过RG的电流是多少？

嗯，这里要注意。RG两端的电压差是(Vin+ - Vin-)，所以电流I_RG = (Vin+ - Vin-) / RG。这个电流也会流过两个反馈电阻R1（假设两个R1相等）。

那么，A1的输出端Vout1相对于Vin+的电压变化是多少？电流I_RG从Vin+流向Vout1，方向是从左到右？不对，我重新理一下。电流从Vin+（A1的反相端）经过R1流向Vout1，同时从Vin-（A2的反相端）经过另一个R1流向Vout2。所以：

Vout1 = Vin+ + I_RG * R1
Vout2 = Vin- - I_RG * R1

注意符号！因为电流方向不同。把I_RG代入：

Vout1 = Vin+ + (Vin+ - Vin-) * (R1 / RG)
Vout2 = Vin- - (Vin+ - Vin-) * (R1 / RG)

那么第一级的差分输出Vod1 = Vout1 - Vout2。算一下：

Vod1 = (Vin+ - Vin-) + 2 * (Vin+ - Vin-) * (R1 / RG)
     = (Vin+ - Vin-) * (1 + 2*R1/RG)

所以第一级增益：

我在项目中遇到过一个问题，有人把R1和RG的比值设得太大，比如R1/RG = 1000，结果第一级输出直接饱和了。你想想看，输入差分信号才10mV，第一级就放大到20V，后面的第二级还怎么玩？

4.2 第二级增益推导：差分转单端，减法器登场

第二级就是一个标准的差分放大器，也就是减法器。它把第一级输出的差分信号Vod1，转换成对地的单端信号Vout。

假设第二级的四个电阻分别为R2、R3、R4、R5。通常我们让R2 = R4，R3 = R5，这样电路对称。那么输出公式是：

Vout = (R3 / R2) * (Vout2 - Vout1)

注意，这里是Vout2 - Vout1，不是Vout1 - Vout2。为什么？因为减法器的同相输入端接的是Vout2，反相输入端接的是Vout1。推导过程我就不啰嗦了，标准教科书都有。

那么第二级增益：

说白了，第二级就是个比例放大器。它的增益通常设置在1~10倍之间。我曾经见过一个设计，第二级增益设到100倍，结果电阻噪声被放大得惨不忍睹。

4.3 总增益公式：两级级联，简单相乘

总增益就是第一级和第二级的乘积。因为两级之间是直接耦合，没有额外的负载效应（运放的输出阻抗很低，输入阻抗很高）。

Av_total = Av1 * Av2 = (1 + 2*R1/RG) * (R3 / R2)

这个公式看起来简单，但实际应用中有个坑。我刚开始做设计时，总觉得增益可以随便调。直到有一次，我调了RG来改变总增益，结果发现共模抑制比（CMRR）也跟着变了。嗯，从那以后我才明白，增益和CMRR是耦合的。

4.4 电阻匹配：精度决定性能

电阻匹配，是三运放结构的灵魂。为什么这么说？

第一级对电阻匹配的要求相对宽松。因为第一级的增益只取决于R1和RG的比值，只要比值准确，绝对值有点偏差问题不大。但第二级就不一样了。

第二级的共模抑制能力，完全取决于四个电阻的匹配精度。如果R2 ≠ R4，或者R3 ≠ R5，那么共模信号就会转化为差模信号，被放大输出。这就是所谓的“共模抑制比退化”。

我给大家一个经验数据：

电阻匹配精度	理论CMRR（dB）	实际能达到的CMRR（dB）
0.1%	66	60~65
0.01%	86	80~85
0.001%	106	95~100

看到了吧？想达到80dB以上的CMRR，电阻匹配至少要做到0.01%。

另外，电阻的温度系数也要匹配。如果R2和R4的温度系数不同，温度一变，匹配精度就没了。所以，选电阻时尽量选同一批次、同一型号的。

好了，增益计算和电阻匹配就讲到这里。下一节我们聊聊共模抑制比，那才是三运放真正的杀手锏。