3、增益公式推导：从电路原理推导 G = 1 + (2R1/Rg)，解释 Rg 的作用

好，咱们直接进入正题。上一节我讲了仪表放大器的基本结构，三个运放搭起来的。这一节，我们来亲手推导那个经典的增益公式：G = 1 + (2R1/Rg)。

说实话，我第一次看到这个公式时，心里想的是：“这 2 倍是怎么冒出来的？” 后来自己动手推导了一遍，才恍然大悟。嗯，咱们今天就把它彻底搞明白。

先看仪表放大器的第一级——两个运放 A1 和 A2，加上 Rg 和两个 R1。这部分其实是个对称的差分输入级。

我个人习惯把电路拆成两半来看。假设输入信号是 V1 和 V2，分别加到 A1 和 A2 的同相端。那么 A1 的输出 Vo1 和 A2 的输出 Vo2 之间，会有什么样的关系？

关键点在于 Rg 两端的电压。你想想看，Rg 跨接在两个运放的反相输入端之间。由于运放的“虚短”特性，A1 的反相输入端电压等于 V1，A2 的反相输入端电压等于 V2。所以，Rg 两端的电压就是 V1 - V2。

流过 Rg 的电流呢？很简单：

I_Rg = (V1 - V2) / Rg

这个电流会继续流过两个 R1 电阻。注意，电流方向是从左到右（假设 V1 > V2）。那么，在左边的 R1 上，电流从 Vo1 流向反相输入端，所以 Vo1 比 V1 高出一个压降：

Vo1 = V1 + I_Rg * R1

在右边的 R1 上，电流从反相输入端流向 Vo2，所以 Vo2 比 V2 低一个压降：

Vo2 = V2 - I_Rg * R1

把 I_Rg 代入，得到：

Vo1 = V1 + (V1 - V2) * (R1 / Rg)
Vo2 = V2 - (V1 - V2) * (R1 / Rg)

好，现在我们来算第一级的差分输出 Vo1 - Vo2：

Vo1 - Vo2 = [V1 + (V1 - V2)*(R1/Rg)] - [V2 - (V1 - V2)*(R1/Rg)]
          = (V1 - V2) + 2*(V1 - V2)*(R1/Rg)
          = (V1 - V2) * (1 + 2*R1/Rg)

核心结论：第一级输出的差分电压，已经是输入差模电压的 (1 + 2R1/Rg) 倍了。

第一级输出的是差分信号 Vo1 和 Vo2，第二级（A3 和四个 R2 电阻）负责把它转成单端信号 Vout。

这部分就是个标准的差分放大器。如果四个 R2 电阻完全匹配，那么：

Vout = (Vo2 - Vo1) * (R2 / R2) = Vo2 - Vo1

注意符号！这里 Vo2 接同相端，Vo1 接反相端，所以输出是 Vo2 - Vo1，也就是负的 (Vo1 - Vo2)。

所以：

Vout = -(Vo1 - Vo2) = -(V1 - V2) * (1 + 2*R1/Rg)

取绝对值，增益就是：

G = |Vout / (V1 - V2)| = 1 + 2*R1/Rg

推导完毕。你看，那个 2 倍就是这么来的——因为 Rg 两边的 R1 各贡献了一份压降。

公式里 Rg 在分母上，这意味着什么？

我在项目中遇到过一种情况：客户要求增益能在 10 到 1000 之间可调。我选了个固定 R1 = 25kΩ，然后用一个电位器做 Rg。算一下：

你看，Rg 从 2.78k 变到 50Ω，增益就变了两个数量级。这就是 Rg 的魔力——一个电阻决定整个放大器的增益。

我的经验：选 Rg 时，别只看增益。还要考虑 Rg 上的功耗和噪声。Rg 太小，电流大，电阻自身发热会引入温漂。我一般建议 Rg 不要小于 50Ω，除非你用的是高精度低温度系数的电阻。

我曾经在一个精密测量项目中栽过跟头。板子调好了，增益总是不对，偏了大约 0.5%。查了半天，发现是 Rg 的焊盘到运放引脚之间的走线太长，引入了额外的寄生电阻。

你想想看，Rg 本身才 100Ω，走线电阻 0.5Ω，这就相当于 Rg 变成了 100.5Ω，增益自然就偏了。

所以，关于 Rg 有几点要注意：

警告：千万不要为了省成本，用普通贴片电阻做 Rg。我见过有人用 5% 精度的电阻，结果增益误差直接飙到 10% 以上。仪表放大器玩的就是精度，Rg 是核心中的核心。

推导完了，其实不复杂。核心就三点：

下一节我会讲实际设计中怎么选 R1 和 Rg，以及如何避免常见的增益误差源。到时候咱们再聊。