4. 理想运放下的CMRR推导
好，咱们进入正题。这一节，我带你推导理想运放下的CMRR。
你可能会问，既然是理想运放，那CMRR不应该是无穷大吗？嗯，理论上是这样。但推导过程本身，能帮你理解CMRR的本质。说白了，就是搞清楚共模信号到底是怎么被抑制的。
4.1 经典三运放仪表放大器结构
先看结构。经典的仪表放大器，由三个运放组成：
- 第一级：两个运放（A1、A2），构成差分输入级
- 第二级：一个运放（A3），构成差分转单端输出级
- 增益电阻：Rg（接在A1、A2的反相端之间）
我个人习惯把第一级叫做「输入缓冲级」，第二级叫「减法器」。这样好记。
4.2 理想运放假设
推导前，先明确假设条件：
- 运放增益A = ∞（无穷大）
- 输入阻抗Rin = ∞
- 输出阻抗Rout = 0
- 共模抑制比CMRR = ∞（每个运放自身）
- 失调电压Vos = 0
这些假设，说白了就是「完美运放」。实际芯片当然做不到，但先拿理想情况打底，后面再谈非理想因素。
4.3 第一级：差分输入级的传递函数
先看第一级。输入信号有两个：
- Vcm：共模电压（两个输入端相同的部分）
- Vd：差模电压（两个输入端不同的部分）
实际输入为：
V1 = Vcm + Vd/2
V2 = Vcm - Vd/2对于理想运放，虚短成立。A1和A2的反相端电压等于同相端电压。所以：
Vx = V1 = Vcm + Vd/2
Vy = V2 = Vcm - Vd/2流过Rg的电流为：
Ig = (Vx - Vy) / Rg = (Vd) / Rg这个电流也流过两个反馈电阻R1。所以A1的输出为：
Vo1 = Vx + Ig * R1 = (Vcm + Vd/2) + (Vd/Rg) * R1
= Vcm + Vd/2 + Vd * (R1/Rg)同理，A2的输出为：
Vo2 = Vy - Ig * R1 = (Vcm - Vd/2) - (Vd/Rg) * R1
= Vcm - Vd/2 - Vd * (R1/Rg)你看，第一级的输出中，共模分量Vcm还在，但差模分量被放大了。增益为：
G1 = 1 + 2*R1/Rg嗯，这里要注意：第一级对共模信号没有放大，只是「传递」过去了。
4.4 第二级：减法器的传递函数
第二级是个经典减法器。输入是Vo1和Vo2，输出是Vout。
假设电阻匹配完美：R2 = R3，R4 = R5。那么：
Vout = (R4/R2) * (Vo2 - Vo1)把Vo1和Vo2代入：
Vo2 - Vo1 = [Vcm - Vd/2 - Vd*(R1/Rg)] - [Vcm + Vd/2 + Vd*(R1/Rg)]
= -Vd - 2*Vd*(R1/Rg)
= -Vd * (1 + 2*R1/Rg)所以：
Vout = (R4/R2) * [ -Vd * (1 + 2*R1/Rg) ]总增益为：
G_total = (R4/R2) * (1 + 2*R1/Rg)注意看，共模分量Vcm在减法器中被完全抵消了！
关键结论：在理想运放且电阻完美匹配的条件下，共模信号被完全抑制，CMRR为无穷大。
4.5 为什么理想情况下CMRR是无穷大？
说白了，原因就两条：
- 第一级：共模信号以单位增益通过，差模信号被放大
- 第二级：减法器把共模信号减掉了，只留下差模信号
你想想看，如果运放是理想的，电阻完全匹配，那共模信号就像「路过」一样，最后被完美抵消。这就是理想CMRR无穷大的来源。
我在项目中遇到过一种情况：有同事觉得理想推导没用，直接上手搭电路。结果共模抑制很差，查了半天发现是电阻不匹配。嗯，这就是理想和现实的差距。
4.6 推导过程的表格总结
| 推导步骤 | 关键公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 输入信号分解 | V1 = Vcm + Vd/2 V2 = Vcm - Vd/2 |
共模和差模分离 |
| 第一级输出 | Vo1 = Vcm + Vd/2 + Vd*(R1/Rg) Vo2 = Vcm - Vd/2 - Vd*(R1/Rg) |
共模保留，差模放大 |
| 第二级减法 | Vout = (R4/R2)*(Vo2 - Vo1) | 共模抵消 |
| 最终结果 | Vout = -(R4/R2)*(1+2R1/Rg)*Vd | 只有差模输出 |
小技巧：推导时，我习惯先写共模和差模分开的表达式，再代入。这样不容易搞混。你试试看。
4.7 理想推导的意义
你可能会觉得，理想情况太简单了，没什么用。其实不然。
理想推导给了我们一个「基准线」。实际电路的CMRR再差，也不会超过这个理想值。而且，从理想推导中，我们能看出影响CMRR的关键因素：
- 电阻匹配精度
- 运放自身的CMRR
- 运放的有限增益
这些非理想因素，我们下一节再聊。但你现在应该明白：理想运放下的CMRR推导，说白了就是告诉你「如果一切完美，能有多好」。
我曾经用这个推导结果去说服一个项目经理，告诉他仪表放大器的CMRR瓶颈不在芯片本身，而在外围电阻。他一开始不信，后来实测数据摆出来，他才服气。
注意：理想推导假设电阻完全匹配。实际中，哪怕0.1%的电阻失配，也会显著降低CMRR。别被理想结果骗了。
好，这一节就到这里。记住：理想运放下，CMRR是无穷大。但现实世界没有「无穷大」，只有「够用」和「不够用」。下一节，我们看看非理想因素怎么把CMRR拉下神坛。