1. 课程导论与预备知识

1.1 我们为什么要做相机标定？

说实话，我刚入行那会儿，觉得相机标定挺无聊的。不就是拍几张棋盘格嘛？后来做第一个3D重建项目，发现恢复出来的点云全是歪的——嗯，从那以后我再也不敢小看标定了。

相机标定的核心目的，说白了就两个：

• 把图像里的像素位置，和现实世界的物理位置对应起来
• 消除镜头带来的畸变，让图像更接近真实投影

你想想看，如果标定参数不准，后续的测距、定位、三维重建全是空中楼阁。我在做自动驾驶感知项目时遇到过，标定误差0.1个像素，在50米外就变成了10厘米的位置偏差——这对障碍物检测来说，可能就是撞与不撞的区别。

1.2 针孔相机模型——最朴素的成像原理

相机成像，本质上就是小孔成像。只不过我们用透镜代替了小孔，让更多光线进来，成像更亮更清晰。

针孔模型假设光线沿直线传播，穿过光心后投影到成像平面。这里有几个关键概念：

• 光心（O）：相机坐标系的原点，光线汇聚的点
• 主光轴：过光心且垂直于成像平面的直线
• 焦距（f）：光心到成像平面的距离
• 成像平面：传感器所在的位置，接收光线形成图像

我记得第一次推导投影公式时，被符号搞晕了——成像其实是倒立的。不过没关系，数学上我们通常把成像平面"虚拟"到光心前方，这样就不用处理倒立问题了。

1.3 坐标系转换——四个世界之间的桥梁

相机标定涉及四个坐标系。我刚开始学的时候，总觉得它们之间隔着一堵墙。后来发现，其实就是一连串的矩阵乘法。

坐标系	符号	单位	说明
世界坐标系	(Xw, Yw, Zw)	米/mm	你定义的全局参考系，棋盘格角点就在这里定义
相机坐标系	(Xc, Yc, Zc)	米/mm	以光心为原点，Z轴沿主光轴指向场景
图像坐标系	(x, y)	米/mm	成像平面上的物理坐标，原点在光轴与平面交点
像素坐标系	(u, v)	像素	你最终看到的图像，原点在左上角

转换流程是这样的：

1. 世界 → 相机：刚体变换（旋转 + 平移），用外参矩阵搞定
2. 相机 → 图像：透视投影，除以Z，把3D点压到2D平面
3. 图像 → 像素：离散化，把物理尺寸变成像素坐标

1.4 内参矩阵——相机自己的"身份证"

内参矩阵描述的是相机内部的几何特性。它只和相机本身有关，换了场景也不用重新标定（除非你动了镜头）。

内参矩阵 K 长这样：

K = [fx   0   cx
     0   fy   cy
     0    0    1 ]

其中：

• fx, fy：焦距在像素单位下的表示，fx = f / dx，fy = f / dy
• cx, cy：主点坐标，理论上在图像中心，实际会有偏移

我见过很多初学者以为 cx, cy 就是图像宽高的一半。其实不是的，镜头安装时会有微小的偏心，cx, cy 就是用来补偿这个偏差的。

1.5 外参矩阵——相机在哪儿？朝哪儿看？

外参描述的是相机在世界坐标系中的位置和朝向。它由旋转矩阵 R 和平移向量 t 组成：

[R | t]   (3×4 矩阵)

外参是"场景相关"的。你把相机从三脚架挪到手持，外参就变了。标定的时候，我们通常固定相机，移动标定板，每张图片的外参都不一样。

1.6 畸变模型——镜头不是完美的

现实中的镜头不是完美的针孔。光线经过透镜时会发生弯曲，这就是畸变。畸变主要分两类：

径向畸变

光线离主光轴越远，弯曲越严重。表现为：

• 桶形畸变：图像向外膨胀，广角镜头常见
• 枕形畸变：图像向内收缩，长焦镜头常见

数学模型用泰勒展开近似：

x_corrected = x * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)
y_corrected = y * (1 + k1*r² + k2*r⁴ + k3*r⁶)

其中 r 是像素到主点的距离，k1, k2, k3 是径向畸变系数。

切向畸变

镜头和成像平面不平行导致的。表现为图像倾斜：

x_corrected = x + [2*p1*x*y + p2*(r² + 2*x²)]
y_corrected = y + [p1*(r² + 2*y²) + 2*p2*x*y]

p1, p2 是切向畸变系数。

1.7 本章知识体系总览

下面这张图把本章的核心逻辑串起来了。我建议你多看几遍，把坐标系转换的"流水线"刻在脑子里。

1.8 本章小结

这一章我们打下了相机标定的理论基础。你只需要记住几个关键点：

• 标定是为了求解内参、外参和畸变系数
• 针孔模型是基础，但实际镜头有畸变需要修正
• 四个坐标系之间的转换是标定的数学骨架
• 内参是相机的固有属性，外参随场景变化