📚 课程目录第3章实验设计基础与自动生成的关系

3. 实验设计基础与自动生成的关系

实验计划自动生成系统并不是凭空“发明”实验方案，它的底层仍然依赖经典实验设计（DOE）方法。自动生成的价值在于：把实验者原本需要手工查正交表、推导别名结构、计算响应面回归矩阵的过程，转化为由系统根据因子、水平、约束和目标自动选择设计类型、生成试验点并输出可执行计划。因此，理解正交设计、析因设计、响应面设计在自动生成中的映射方式与取舍边界，是设计自动生成引擎的核心基础。

三类经典方法在自动生成中的角色定位

正交设计（Orthogonal Design）的核心是“均衡分散、整齐可比”，通过正交表让各因子的各水平在试验中出现次数相同，从而在较少试验次数下估计主效应。在自动生成系统中，正交设计通常映射为“因子—水平—正交表”的查表与映射模块：系统读取因子数 k 和水平数 m，选择最接近的 L_n(m^k) 表，再按因子顺序把水平编码填入表列。例如 3 因子 3 水平，可选用 L₉(3⁴)，系统自动截取前 3 列，生成 9 组试验点。

析因设计（Factorial Design）强调“全组合”或“部分组合”，能估计主效应和交互效应。全析因 2^k 在 k 较小时（如 k≤5）可直接枚举；当 k 增大，自动生成系统会切换到部分析因（2^k-p），并依据分辨度（Resolution）决定别名结构。例如 2^5-1 分辨度 V 设计，主效应不与二阶交互混杂，但二阶交互之间可能混杂，系统需要在生成时输出别名表供实验者判断。

响应面设计（Response Surface Design）用于寻找最优区域，常见有中心复合设计（CCD）和 Box-Behnken 设计（BBD）。自动生成系统在此处的映射不是“查表”，而是“按公式构造试验点”：CCD 由析因点、轴点和中心点组成，轴点距离 α 由可旋转性或正交性准则确定；BBD 则把试验点放在各因子两两组合的边中点，避免极端顶点。系统需要根据因子数、是否可执行极端组合、预算试验次数，自动选择 CCD 或 BBD。

自动生成中的关键取舍逻辑

自动生成系统在映射经典方法时，必须处理三类取舍。第一是试验次数与信息量的取舍：正交设计和部分析因用较少试验换取主效应估计，但牺牲交互信息；全析因和响应面保留更多信息，但试验成本高。系统通常设置“预算上限”参数，当全析因次数超过预算时自动降级为部分析因或正交表。

第二是因子水平数与表结构的匹配取舍：正交表要求各因子水平数一致，但实际实验中因子可能混合 2 水平和 3 水平。自动生成系统需要支持混合水平正交表（如 L₁₈(2¹×3⁷)），或采用“伪水平”方法把 2 水平因子扩展为 3 水平后再截取。这一取舍直接影响生成计划的可用性。

第三是约束条件下的试验点可行性取舍：响应面设计中的轴点可能超出因子安全范围，析因设计的极端组合可能无法执行。自动生成系统需要在生成试验点后执行约束过滤，剔除不可行点，并判断剩余点是否仍满足设计秩条件。若秩不足，系统应提示实验者调整因子范围或改用 BBD 等不依赖极端点的设计。

一个可执行的自动生成决策示例

假设某化学反应优化实验，因子为温度（A）、时间（B）、催化剂浓度（C），目标为产率最大化，预算不超过 20 次试验。自动生成系统的决策过程如下：

输入：
  因子数 k = 3
  水平数 m = 3（温度：60/80/100℃；时间：30/60/90min；浓度：1/2/3%）
  预算 N_max = 20
  目标 = 优化（需二次模型）

决策：
  1. 目标为优化 → 优先响应面设计
  2. k=3，CCD 需 8+6+3=17 次 ≤ 20 → 可选 CCD
  3. 检查轴点：温度轴点 60-Δ 和 100+Δ 可能超出安全范围
  4. 若轴点不可行 → 切换 BBD，需 12+3=15 次 ≤ 20
  5. 输出 BBD 试验计划表 + 二次回归模型形式

输出示例（BBD，部分）：
  试验号  A(温度)  B(时间)  C(浓度)
  1       60       30       2
  2       100      30       2
  3       60       90       2
  4       100      90       2
  5       60       60       1
  ...     ...      ...      ...
  15      80       60       2  (中心点)

该示例中，系统没有直接套用 CCD，而是根据“轴点可行性”这一约束条件切换到 BBD，体现了自动生成中“经典方法映射 + 约束取舍”的协同逻辑。实验者拿到计划表后，只需按表执行并记录产率，系统即可自动完成二次回归拟合与最优区域预测。

实践提示：在自动生成系统中，建议为每种设计类型维护一个“适用条件—取舍代价”元数据表，包括：最少试验次数、可估效应类型、是否支持混合水平、是否依赖极端点、是否可拟合二次模型。这样系统在决策时可直接查表比较，而不是硬编码判断逻辑。

映射与取舍的工程化要点

把经典 DOE 方法映射到自动生成引擎时，需要关注三个工程化要点。其一，设计类型的可扩展性：正交表和析因设计适合用查表法实现，响应面设计适合用公式构造法实现，系统应统一输出“试验点矩阵 + 因子水平映射表”这一中间结构，便于后续约束过滤和随机化。

其二，别名结构的自动输出：部分析因和正交设计必须向实验者明确哪些效应混杂。系统应在生成计划的同时输出别名表，例如 2^5-1 设计中 A 与 BCD 混杂、B 与 ACD 混杂等，避免实验者误读结果。

其三，随机化与区组化的自动处理：经典 DOE 要求试验顺序随机化以消除时间趋势，自动生成系统应在输出计划表时自动打乱试验顺序，并支持区组划分（如按天、按批次）。这一步骤虽小，但直接影响实验结果的统计有效性。

综上，正交设计、析因设计、响应面设计在自动生成中的映射不是简单的“查表替换”，而是需要根据因子数、水平数、预算、目标、约束条件进行动态取舍。理解这些取舍边界，才能设计出既符合统计原理又具备工程可行性的自动生成系统。