3. 补料分批培养的物料衡算

补料分批培养（fed-batch）与普通分批培养最本质的区别在于：反应器内液相体积 V 不再是常数，而是随时间变化的变量。这一变化直接决定了物料衡算的写法——所有浓度变量的微分方程都必须把稀释项考虑进去。理解这一点，是后续补料策略设计、比速率计算和过程控制的基础。

一、先约定参照系与符号

本节统一以反应器内液相为控制体，所有浓度均指单位液相体积的量，所有速率均指单位时间内的变化。符号约定如下：

  • V：液相体积，L；F：补料流加速率，L/h；Fout：采出或流失流加速率，L/h。
  • X：生物量浓度，g/L；S：限制性底物浓度，g/L；P：产物浓度，g/L。
  • SF：补料液中限制性底物浓度，g/L（通常为高浓度浓缩液）。
  • μ：比生长速率，h⁻¹；qs：比底物消耗速率，g底物/(g生物量·h)；qp：比产物生成速率，g产物/(g生物量·h)。
  • YX/S：生物量对底物的得率系数，g/g；YP/S：产物对底物的得率系数，g/g；ms：维持系数，g底物/(g生物量·h)。

约定：底物消耗、产物生成均以“生成量为正、消耗量为负”的通用衡算形式书写，读者在代入数值时需注意符号方向。

二、体积衡算：一切浓度方程的前提

若忽略补料液加入引起的密度变化，且无采出，则体积衡算为：

dV/dt = F

若同时存在采出，则 dV/dt = F − Fout。在恒体积补料（F = Fout）或变体积补料中，体积项会以稀释率 D = F/V 的形式进入每一个浓度方程。这是补料分批与分批培养在数学结构上的分水岭。

三、生物量动态平衡方程

对生物量做质量衡算：积累 = 生长生成 − 流出带出。写成浓度形式：

dX/dt = μX − (F/V)X = (μ − D)X

其中 D = F/V 为稀释率。该式说明：当 μ > D 时生物量浓度上升；μ = D 时 X 保持恒定，进入“准稳态”；μ < D 时 X 被稀释下降。补料分批中常见的“控制比生长速率”策略，本质上就是通过调节 F 使 D 跟踪目标 μ。

四、底物动态平衡方程

底物既被消耗，又被补料带入，还可能随流出带出：

dS/dt = D(S_F − S) − q_s X

其中 qs 为比底物消耗速率。若采用维持-生长模型：

q_s = μ / Y_{X/S} + m_s

当补料速率恰好满足维持与生长需求时，dS/dt ≈ 0，S 维持在一个很低的准稳态值，这正是补料分批“限底物、不限氧”控制思路的数学表达。

五、产物动态平衡方程

产物衡算与生物量类似，但生成项由 qp 决定：

dP/dt = q_p X − D·P

若产物为生长偶联型，qp = αμ + β；若为非生长偶联型，qp 与 μ 无关，仅与 X 或环境条件相关。产物方程中的 D·P 项在补料后期不可忽略，否则会高估产物积累。

六、比生长速率与比产物生成速率的计算

比速率不能直接测量，必须由可测变量反算。最常用的两条路径是：

  1. 由生物量数据反算 μ：在已知 V(t) 的情况下，先算总生物量 MX = X·V，再取对数斜率：μ = d(ln MX)/dt。若体积恒定，则退化为 μ = d(ln X)/dt。
  2. 由底物消耗反算 qs 与 μ：在准稳态假设下，补入的底物几乎全部被消耗，则 qsX ≈ F·SF/V，结合 qs = μ/YX/S + ms 可解出 μ。

比产物生成速率 qp 则由产物总量 MP = P·V 的增量除以生物量总量得到：

q_p = (1/M_X) · dM_P/dt

实际计算时，建议用有限差分代替微分：qp ≈ Δ(P·V) / (X·V·Δt)，取相邻两个取样点即可。若取样间隔内体积变化较大，必须用 V 加权，否则误差可达 10% 以上。

七、教学示例：一次指数补料段的衡算

假设某重组大肠杆菌补料分批培养，补料液 SF = 500 g/L 葡萄糖，目标比生长速率 μset = 0.15 h⁻¹，YX/S = 0.5 g/g，ms = 0.02 g/(g·h)。在 t = 6 h 时测得 V = 5.0 L，X = 20 g/L。若采用指数补料 F = (μset/YX/S + ms)·X·V / SF，则：

F = (0.15/0.5 + 0.02) × 20 × 5.0 / 500
  = (0.30 + 0.02) × 100 / 500
  = 0.32 × 100 / 500
  = 0.064 L/h

此时稀释率 D = F/V = 0.064/5.0 = 0.0128 h⁻¹，远小于 μset = 0.15 h⁻¹，说明生物量浓度仍会上升，底物被快速消耗，S 维持在较低水平。若继续按指数规律增大 F，X 将按 eμt 增长，直到氧传递或代谢副产物积累成为新的限制因素。

判断补料是否合理的实用依据：若在线尾气中 CO₂ 释放率持续上升而 DO 仍可控，说明底物被有效利用；若 DO 突然回升、CO₂ 释放率下降，往往意味着底物已耗尽或补料中断，此时应检查 F 是否与 μset 匹配。

八、方程组的联立与数值求解思路

上述四个方程（V、X、S、P）构成一个常微分方程组。给定初始条件 V₀、X₀、S₀、P₀ 和补料策略 F(t)，即可用欧拉法或四阶龙格-库塔法逐步积分。工程上更常用的是“准稳态近似”：假设 S 变化很慢，令 dS/dt ≈ 0，从而把微分方程降为代数方程，直接解出 μ 和 F 的关系。这种近似在补料速率变化平缓时误差很小，是补料策略设计的常用手段。

补料分批培养物料衡算关系图 控制体：反应器液相；浓度基准：单位液相体积；速率基准：单位时间 补料流 F S_F = 500 g/L 反应器液相 V(t) 生物量 X，比生长速率 μ 底物 S，比消耗速率 q_s 产物 P，比生成速率 q_p 稀释率 D = F / V 体积衡算 dV/dt = F − F_out 输入底物 采出流 F_out 带出 X、S、P 生物量衡算 dX/dt = (μ − D)·X μ > D → X 上升 μ = D → X 准稳态 μ < D → X 被稀释 底物衡算 dS/dt = D(S_F − S) − q_s·X q_s = μ/Y_XS + m_s 准稳态：dS/dt ≈ 0 S 维持低值，限底物不限氧 产物衡算 dP/dt = q_p·X − D·P 生长偶联：q_p = αμ + β 非偶联：q_p 与 μ 无关 D·P 项后期不可忽略 比速率反算：μ = d(ln(X·V))/dt　　q_p = Δ(P·V)/(X·V·Δt)

把上述方程联立起来看，补料分批培养的控制问题就转化为：如何设计 F(t)，使 μ 或 qp 按目标轨迹变化，同时不让 S 积累到产生抑制或副产物的水平。物料衡算提供的正是这一设计过程的定量骨架——没有它，补料只能凭经验“试”，有了它，补料速率、取样频率和判断阈值都可以事先算出来。

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