4. 生物反应器物料衡算与化学计量模型

生物反应器的物料衡算，本质上是把“细胞吃了什么、长出了什么、副产了什么、还剩什么”用可计算的守恒关系表达出来。与化学反应器不同，生物体系里既有底物消耗、菌体生长、产物合成，也有维持代谢和代谢副产物，因此衡算模型必须同时处理元素守恒、宏观反应方程、得率系数和维持系数。只有把这些关系写清楚，后续的补料策略、通气速率、产率优化才有可靠依据。

元素守恒：衡算的底层约束

任何生物反应都可以先写成宏观反应方程。以好氧发酵中常见的葡萄糖转化为菌体、产物和二氧化碳为例，可抽象为：

C6H12O6 + a O2 + b NH3
→ c CH1.8O0.5N0.2 + d CO2 + e H2O + f 产物

其中 CH1.8O0.5N0.2 是菌体元素组成的简化表示。元素守恒要求 C、H、O、N 四种元素在反应前后数量相等。若已知菌体得率、产物得率和呼吸商，就可以通过元素平衡反推氧气消耗和二氧化碳释放。例如，当葡萄糖消耗 100 mmol/L、菌体生成 40 mmol/L（以 C-mol 计）、产物生成 10 mmol/L 时，碳元素进入菌体和产物的比例决定了剩余碳以 CO2 形式释放的量。这个约束是后续所有得率系数计算的基础。

宏观反应方程与得率系数

宏观反应方程把复杂的胞内代谢压缩为可观测的输入输出关系。工程上最常用的得率系数包括：

• Y_X/S：每消耗 1 g 底物生成的菌体干重（g/g）；
• Y_P/S：每消耗 1 g 底物生成的产物质量（g/g）；
• Y_X/O：每消耗 1 g 氧气生成的菌体干重（g/g）；
• Y_CO2/S：每消耗 1 g 底物释放的 CO2 质量（g/g）。

这些系数并非固定常数，会随比生长速率、温度、pH 和限制性底物浓度变化。例如，在葡萄糖限制的恒化器中，低稀释率下 Y_X/S 通常较高，因为维持代谢占比小；高稀释率下菌体需要更多能量用于快速合成，Y_X/S 会下降。因此，建模时应把得率系数视为“操作条件下的表观参数”，而不是热力学常数。

维持系数：为什么底物消耗总比生长多

细胞即使不生长，也要消耗能量维持膜电位、修复大分子和维持渗透压。Pirt 提出的维持模型把底物消耗分为生长相关和维持相关两部分：

qS = μ / Y<sub>X/S</sub><sup>max</sup> + mS

其中 qS 是比底物消耗速率（g 底物/g 菌体·h），μ 是比生长速率（h^-1），Y_X/S^max 是理论最大得率，mS 是维持系数（g 底物/g 菌体·h）。在恒化器中，μ 等于稀释率 D。若以 qS 对 D 作图，理论上应得到一条直线，截距即 mS，斜率即 1/Y_X/S^max。例如，某假想恒化器实验中 D 分别为 0.1、0.2、0.3 h^-1，测得 qS 为 0.55、0.95、1.40 g/g·h，则拟合可得 mS≈0.10 g/g·h，Y_X/S^max≈0.45 g/g。这说明在低稀释率下，维持消耗占总底物消耗的比例可超过 20%，忽略维持项会显著高估菌体产量。

黑箱与灰箱化学计量建模

黑箱模型只利用可测量的输入输出，不假设具体代谢路径。它把菌体视为一个“元素组成已知的组分”，通过元素平衡和得率关系建立方程组。优点是参数少、可辨识性好，适合在线估计和补料控制。灰箱模型则在黑箱基础上引入部分已知代谢信息，例如把底物消耗拆分为“用于生长的部分”和“用于产物合成的部分”，或引入 ATP 维持项。灰箱模型精度更高，但需要更多先验知识和参数辨识实验。

实际建模时，建议先建立黑箱元素衡算，确认碳回收率在 95%～105% 之间；再根据实验数据拟合 Y_X/S、mS 和产物得率；最后在需要预测副产物或代谢通量分布时，升级为灰箱模型。下面这张图展示了从元素守恒到宏观反应方程、得率系数、维持系数，再到黑箱/灰箱模型选择的完整关系。