📚 课程目录第2章代谢网络 stoichiometry 建模

2. 代谢网络 stoichiometry 建模

上一节我们建立了代谢网络的图论直觉：节点是代谢物，边是反应。但图只能告诉我们“谁和谁相连”，无法回答“每个反应以多快速度运行、各反应之间如何相互约束”。要进入定量分析，必须把网络翻译成代数结构——这就是化学计量建模的核心任务。本节的目标是：给定一个代谢网络，能够独立写出它的化学计量矩阵 S，区分内部代谢物与外部代谢物，列出稳态平衡方程，并明确哪些量是待求的通量变量。

一、从反应列表到化学计量矩阵

化学计量矩阵的构造规则非常直接：行对应代谢物，列对应反应，元素 S_ij 表示第 i 个代谢物在第 j 个反应中的净化学计量系数。约定：生成物取正号，反应物取负号，不参与该反应的代谢物取 0。这个符号约定必须在整门课中保持一致，否则后续通量方向会整体反号。

以一个简化的中心碳代谢片段为例，包含 6 个反应：

R1: Glc_ext → G6P
R2: G6P → F6P
R3: F6P → 2 T3P
R4: T3P → Pyr
R5: Pyr → AcCoA + CO2
R6: AcCoA → Biomass
R7: Pyr → Biomass
R8: G6P → Biomass

这里为了教学清晰，把辅因子、ATP/ADP、NADH/NAD⁺ 暂时省略，只保留碳骨架。代谢物集合为 {Glc_ext, G6P, F6P, T3P, Pyr, AcCoA, CO2, Biomass}，共 8 个；反应集合为 {R1…R8}，共 8 个。按“行=代谢物、列=反应”排列，得到 8×8 的矩阵。例如 G6P 行：R1 中为 +1，R2 中为 −1，R8 中为 −1，其余为 0；Pyr 行：R4 中为 +1，R5 中为 −1，R7 中为 −1。

矩阵一旦写出，网络的所有化学计量约束就全部编码其中。后续无论做通量平衡分析（FBA）、通量变异性分析（FVA）还是 ¹³C 代谢通量分析，第一步都是拿到这个 S 矩阵。

二、内部代谢物与外部代谢物的划分

并非所有代谢物都需要写平衡方程。这里的关键区分是：

内部代谢物（internal metabolite）：在系统内部产生和消耗、不跨越系统边界的中间代谢物，如 G6P、F6P、T3P、Pyr、AcCoA。它们必须满足稳态质量平衡。
外部代谢物（external metabolite）：跨越系统边界的物质，包括底物（Glc_ext）、产物（CO2、Biomass）以及可自由进出的离子/小分子。它们不要求内部平衡，而是作为系统的净输入或净输出。

划分标准不是“分子大小”，而是是否允许在系统边界上净积累或净消耗。实际操作中，判断方法是问：这个代谢物有没有一个“交换反应”或“转运反应”把它与外界相连？如果有，它通常被当作外部代谢物处理；如果没有，它只能由内部反应产生和消耗，必须进入平衡方程。

以上面的例子为例，Glc_ext、CO2、Biomass 是外部代谢物；G6P、F6P、T3P、Pyr、AcCoA 是内部代谢物。于是平衡方程只对 5 个内部代谢物写出，外部代谢物对应的行不参与稳态约束，而是用于计算底物消耗速率、产物生成速率和得率。

三、稳态平衡方程与通量变量

设每个反应的通量为 v_j（单位通常为 mmol·gDW⁻¹·h⁻¹），则对每个内部代谢物 i，稳态假设给出：

Σ_j S_ij · v_j = 0    （对所有内部代谢物 i）

这就是化学计量平衡方程。它的物理含义是：在拟稳态下，内部代谢物的浓度不随时间变化，因此总生成速率等于总消耗速率。注意，这里假设的是“内部代谢物池”处于稳态，而不是整个系统不随时间变化——细胞可以持续生长，只要内部中间物不积累。

以 G6P 为例，其平衡方程为：

v1 − v2 − v8 = 0

以 Pyr 为例：

v4 − v5 − v7 = 0

把所有内部代谢物的方程堆叠起来，就得到矩阵形式：

S_int · v = 0

其中 S_int 是 S 矩阵中对应内部代谢物的行组成的子矩阵，v 是全部反应通量组成的列向量。这个方程组的未知量是 v，方程数是内部代谢物个数。由于反应数通常多于内部代谢物数，方程组是欠定的，存在无穷多组满足化学计量约束的通量分布——这正是后续需要引入目标函数、约束条件或同位素标记数据来求解的原因。

四、通量变量的方向与边界

通量变量 v_j 的符号约定与化学计量系数一致：正值表示反应按书写方向进行，负值表示逆向进行。对于不可逆反应，需要额外施加 v_j ≥ 0 的约束；对于可逆反应，v_j 可正可负。交换反应的通量则直接对应底物摄取速率或产物分泌速率，通常也设定上下界，例如葡萄糖摄取上限 10 mmol·gDW⁻¹·h⁻¹。

这些边界条件与化学计量方程共同构成通量求解的可行空间。化学计量建模阶段的任务，就是把“网络结构”完整地转化为“S 矩阵 + 内部/外部划分 + 平衡方程 + 通量边界”这一套结构基础，而不急于求出具体数值。

五、建模实操中的几个关键判断

实际构建 S 矩阵时，最容易出错的地方不是矩阵运算，而是边界判断和反应书写。以下三点值得特别注意：

生物量反应的处理：生物量合成通常被写成一个“伪反应”，把氨基酸、核苷酸、脂质等前体按固定比例消耗，生成 1 单位生物量。这个反应的通量就是比生长速率 μ。它对应的“Biomass”应作为外部代谢物，因为它是系统的净输出。
可逆反应的符号：如果反应写成 A ⇌ B，则 S 中 A 为 −1、B 为 +1，通量 v 可正可负。若实际只测到正向通量，可在求解时加 v ≥ 0，但矩阵本身不必改。
质子、水、CO₂ 的取舍：这些物质常常被省略以简化矩阵，但省略后必须保证碳骨架平衡仍然成立。如果做 ¹³C 标记实验，CO₂ 的生成与标记分布直接相关，就不能随意省略。

检查 S 矩阵是否正确的一个实用方法：对每一列（反应），检查其非零元素是否与反应式一致；对每一行（内部代谢物），检查非零元素之和是否在稳态下为零。如果某个内部代谢物行只有一个非零元素，说明该代谢物只参与一个反应，稳态下该反应通量必须为零——这通常意味着网络边界划分有误，或者该代谢物实际上应该被当作外部代谢物。

六、从结构基础到通量求解

完成上述步骤后，我们得到的是一个完整的结构描述：S 矩阵、内部/外部代谢物索引、平衡方程 S_int·v = 0、通量变量 v 及其边界。这个结构本身不给出唯一解，但它定义了所有可行通量分布必须满足的硬约束。后续的通量平衡分析会在此基础上加入目标函数（如最大化生物量），通量变异性分析会探索每个通量的可行范围，¹³C 代谢通量分析则会利用标记数据进一步缩小解空间。