坐标变换基础：四种变换的数学含义

图像配准说白了就是找两张图之间的“映射关系”。这个映射关系用数学语言描述，就是坐标变换。我记得刚入行时，总以为所有配准都一样，结果在医学图像上翻了车——不同模态的图像变形方式天差地别。所以我们得先把四种基本变换搞清楚。

变换类型全景图

先看一张总图，把四种变换放在一起对比，你就能理解它们各自能“做什么、不能做什么”。

1. 刚体变换

刚体变换是最简单的一类。它只包含旋转和平移。形状大小都不变，就像你手里拿着一张纸，在桌面上挪动或转动。

数学形式是 2×2 旋转矩阵加上平移向量。在 2D 中表示为：

x' = cosθ · x - sinθ · y + tx
y' = sinθ · x + cosθ · y + ty

写成矩阵：

[x']   [cosθ  -sinθ] [x]   [tx]
[y'] = [sinθ   cosθ] [y] + [ty]

自由度只有 3 个：一个旋转角度 θ，两个平移分量 tx、ty。你要是用刚体变换去配准一个被拉伸过的图像，那肯定失败——因为它没法处理缩放。

我遇到过这么个事：一个卫星遥感项目，两张图拍的是同一片区域，但拍摄角度和高度略有不同。一开始我用刚体配，误差很大。后来发现其实存在微小的尺度和透视变形——所以果断换成了仿射变换。

2. 仿射变换

仿射变换比刚体多了一些自由度。它支持旋转、平移、缩放、错切（shear）。矩形变换后可能变成平行四边形，但平行直线还是平行。

数学形式：

[x']   [a11  a12] [x]   [tx]
[y'] = [a21  a22] [y] + [ty]

其中 a11~a22 这 4 个参数组合起来控制缩放、旋转和剪切。加上 2 个平移，总共 6 个自由度。

实际代码里我们用齐次坐标统一表达：

[x']   [a11  a12  tx] [x]
[y'] = [a21  a22  ty] [y]
[1 ]   [ 0    0    1] [1]

3. 投影变换

投影变换也叫透视变换或单应性变换。它比仿射多一个能力：让平行线在变换后可以相交，产生透视效果。你想想看，一个长方形被投影后在照片上变成梯形，这就是投影变换能做到的事。

齐次坐标形式（8 自由度）：

[x']   [h11  h12  h13] [x]
[y'] = [h21  h22  h23] [y]
[w']   [h31  h32   1 ] [1]

实际输出坐标：
x_final = x' / w'
y_final = y' / w'

注意分母 w' 是由 h31 和 h32 决定的，这就产生了“透视除法”。

投影变换需要至少 4 对匹配点才能解算。我记得有一次做车载环视拼接，用仿射总是配不准地面标线，换成投影变换后，四幅图像完美融合到俯视图上。但注意：投影变换仍然保持直线是直线——它不能把直线变曲线。

4. 非线性变换

这是最灵活也最复杂的一类。非线性变换允许局部畸变，每个像素点都可以有独立的位移。它不保持直线，也不保持平行性。

数学上用位移场表示：

x' = x + u(x, y)
y' = y + v(x, y)

其中 u(x,y) 和 v(x,y) 是两个随空间变化的函数，可以是多项式、B样条、TPS（薄板样条）或基于物理模型的形式。

举个常见例子，医学图像里的非线性配准：

// 常用模型：B样条自由形变 (FFD)
// 用控制网格上的位移系数插值得到全图位移
Φ = {φ_ij}   (网格控制点)
u(x,y) = Σ B_i(x) B_j(y) · φ_ij_x
v(x,y) = Σ B_i(x) B_j(y) · φ_ij_y

表格：四种变换对比

我的选择策略

在实际项目中，我一般这样选：

1. 先分析图像之间变形的来源。是传感器静止（刚体）？有尺差（仿射）？视角不同（投影）？还是组织变形（非线性）？
2. 从最低自由度开始试，用少量匹配点验证配准误差。如果均方根误差（RMSE）小于0.5像素，就够用了。
3. 只有低自由度变换不行时，再往上走。曾经有一个CBCT和规划CT的配准任务，我用投影变换误差1.2mm，换非线性配准（TPS）降到0.3mm。但代价是计算时间从0.5秒涨到了15秒。