2. 图的基本概念：节点、边、邻接矩阵、度矩阵
好了，咱们直接进入正题。图神经网络，说白了就是跟图打交道。你要是连图长什么样都说不清楚，那后面的模型根本没法聊。我最早接触图的时候，脑子里全是朋友圈的好友关系、蛋白质分子的结构，还有论文引用网络。这些东西抽象成数学结构，就是今天我们要讲的这几样东西。
2.1 节点与边：图的基本单元
图由什么组成？就两个核心元素：节点和边。
节点（也叫顶点，vertex）：代表实体。一个人、一个化合物、一个网页，都可以是一个节点。
边（edge）：代表关系。朋友关系、化学反应、超链接，都是边。
我个人习惯把节点想象成「点」，边想象成「线」。你在纸上画几个圈，再用线连起来，这就是一个图。
举个例子。我有一个社交网络的简化版：三个人，A认识B，B认识C，但A和C不认识。那么节点就是{A, B, C}，边就是{(A,B), (B,C)}。
# 用Python表示一个简单图
# 节点集合
nodes = {'A', 'B', 'C'}
# 边集合（无向图，用元组表示）
edges = {('A', 'B'), ('B', 'C')}这里有个小细节：边可以是有方向的，也可以是没有方向的。你想想看，微博上你关注了某大V，但大V不一定关注你，这就是有向边。而微信好友关系，你加了我我也加了你，这就是无向边。
| 属性 | 无向图 | 有向图 |
|---|---|---|
| 边方向 | 没有方向 | 有方向（箭头） |
| 边表示 | (u, v) 无序 | (u → v) 有序 |
| 常见场景 | 朋友网络、分子结构 | 引用关系、关注关系 |
在实际项目中，我建议你一开始就把图的方向想清楚。我自己就吃过亏——有一次做论文引用网络分析，把有向边当无向边处理了，结果聚类效果一塌糊涂。
2.2 邻接矩阵：图的数据表示
图在计算机里怎么存？最直接的方式就是邻接矩阵。它就是一个方阵，行和列都对应节点。如果节点i和节点j之间有边，那矩阵的(i, j)位置就是1，否则是0。
就拿刚才三个人（A, B, C）的例子，邻接矩阵长这样：
# 邻接矩阵（无向图）
# A B C
# A [0, 1, 0]
# B [1, 0, 1]
# C [0, 1, 0]
# 用NumPy表示
import numpy as np
adjacency_matrix = np.array([
[0, 1, 0],
[1, 0, 1],
[0, 1, 0]
])为什么是0和1？因为我们只关心有没有边，不关心边的权重。如果是加权图，那就可以放权重值，比如通话时长、消息频率之类的。
注意！邻接矩阵有个致命的缺点：稀疏性。一个社交网络可能有上亿用户，但每个人的好友数量远小于总人数。结果就是矩阵里全是0，占用大量内存。我曾经用邻接矩阵存了一个百万节点的图，内存直接爆了。从那以后，小于一万节点我才用邻接矩阵，再大就得换别的方法了。
有向图的邻接矩阵不是对称的。看看这个例子，A→B，B→C，C→A：
# 有向图邻接矩阵
# A B C
# A [0, 1, 0] A指向B
# B [0, 0, 1] B指向C
# C [1, 0, 0] C指向A嗯，这里要注意：无向图邻接矩阵一定是对称的，有向图不一定。
2.3 度矩阵：节点的统计量
度矩阵？这个名字听着挺吓人。说白了，它就是一个对角矩阵，对角线上的值就是每个节点的度。
什么是度？无向图中，度就是跟这个节点相连的边的数量。刚才的例子，A有1条边（连B），B有2条边（连A和C），C有1条边（连B）。
# 度矩阵
# A B C
# A [1, 0, 0]
# B [0, 2, 0]
# C [0, 0, 1]就这么简单。有向图里则分为出度和入度：出度是从这个节点出去的边数，入度是进入这个节点的边数。
你可能会问，度矩阵有什么用？我告诉你，在图神经网络里，度矩阵几乎处处用到。最经典的例子就是拉普拉斯矩阵：L = D - A。这个L在图的谱理论、图卷积网络里都是根基。
# 计算拉普拉斯矩阵
import numpy as np
A = np.array([[0,1,0],
[1,0,1],
[0,1,0]])
D = np.diag([1,2,1]) # 度矩阵
L = D - A # 拉普拉斯矩阵
print(L)
# [[ 1, -1, 0],
# [-1, 2, -1],
# [ 0, -1, 1]]我个人的一个经验：度矩阵在归一化的时候非常有用。比如做GCN时，会用 D^{-1/2} A D^{-1/2} 来做对称归一化，这可以防止深度模型里数值爆炸。你不妨自己用小的图试试。
2.4 本章知识体系全景
为了让你对这几个概念的关系一目了然，我画了一张结构图。注意看节点、边、邻接矩阵、度矩阵之间的逻辑链条。
这张图展示了一个清晰的链条：图由节点和边组成，节点的关系可以用邻接矩阵记录，节点的连接数量由度矩阵统计，而这两个矩阵拼接起来，就得到了图神经网络最常用的拉普拉斯矩阵。
记住一句话：邻接矩阵描述谁跟谁有连接，度矩阵描述每个节点有多少连接，拉普拉斯矩阵描述连接之间的差异。 这三板斧，后面30%的GNN模型都在用。
2.5 实战小结与代码对照
我们最后用Python把这几个概念串起来。假设有一个小图，节点是0,1,2,3，边是(0,1), (1,2), (2,3), (3,0)。
import numpy as np
# 节点数
n = 4
# 手动构造邻接矩阵
A = np.zeros((n, n))
edges = [(0,1), (1,2), (2,3), (3,0), (1,3)]
for u, v in edges:
A[u, v] = 1
A[v, u] = 1 # 无向图
print("邻接矩阵 A:")
print(A)
# 度矩阵
D = np.diag(A.sum(axis=1))
print("\n度矩阵 D:")
print(D)
# 拉普拉斯矩阵
L = D - A
print("\n拉普拉斯矩阵 L:")
print(L)邻接矩阵 A:
[[0. 1. 0. 1.]
[1. 0. 1. 1.]
[0. 1. 0. 1.]
[1. 1. 1. 0.]]
度矩阵 D:
[[2. 0. 0. 0.]
[0. 3. 0. 0.]
[0. 0. 2. 0.]
[0. 0. 0. 3.]]
拉普拉斯矩阵 L:
[[ 2. -1. 0. -1.]
[-1. 3. -1. -1.]
[ 0. -1. 2. -1.]
[-1. -1. -1. 3.]]你看，度矩阵的对角线是节点度数，拉普拉斯矩阵的对角线也是度数，但非对角线变成了-1。这里有个坑：如果你用有向图，度矩阵的处理方式完全不同。我自己刚开始做图数据时，就因为没分清有向和无向，导致拉普拉斯矩阵计算错误，模型训练一直不收敛。血的教训。
好了，这几个基本概念你脑子里应该清楚了。下节课我们会用Nextflow把这些图数据的管理和预处理组织起来，进入实战环节。记住，图的数学表示是GNN的起点，后面所有花式操作都绕不开这些基本元件。