3. 地形属性计算基础

在DEM地形分析中，坡度、坡向和曲率是最基础也最常用的三个一阶/二阶地形属性。它们共同刻画了地表在局部邻域内的倾斜程度、朝向和弯曲形态，是后续径流路径判读、光照分析、土壤侵蚀评估和地貌分类的输入基础。理解它们的数学定义与窗口算法，是正确解读GIS输出结果的前提。

三个属性的物理含义与参照约定

坡度（Slope）表示地表单元的最大倾斜角，通常以度或百分比表示，定义为水平面上最大高程变化率对应的反正切值。坡向（Aspect）表示最大坡降方向在水平面上的投影方位，即水流最陡下坡方向。本文及图示统一采用GIS中常见的约定：坡向以正北为0°，顺时针增加，正东90°、正南180°、正西270°；平地或洼地无明确坡向时通常赋值为-1。曲率（Curvature）描述地表二阶导数特征，常用剖面曲率（沿最大坡降方向的弯曲，影响流速加速或减速）和平面曲率（垂直于坡降方向的弯曲，影响水流汇聚或发散）来区分。

需要特别强调：坡度、坡向都是对“局部平面拟合”的近似，其数值强烈依赖计算窗口大小和算法。同一DEM用不同算法可能得到几度的坡度差异，在缓坡区甚至会造成坡向翻转，因此解读结果时必须知道所用算法与窗口。

Horn算法：3×3窗口的加权差分

Horn算法（也称Sobel型加权差分）是ArcGIS等软件的传统默认方法。它在以目标像元为中心的3×3窗口内，对东西、南北方向分别做加权差分，权重为边缘1、角点2，从而抑制噪声。设窗口内像元高程为z1…z9（左上为z1，按行排列，中心为z5），像元尺寸为cellsize，则：

dz/dx = ((z3 + 2*z6 + z9) - (z1 + 2*z4 + z7)) / (8 * cellsize)
dz/dy = ((z7 + 2*z8 + z9) - (z1 + 2*z2 + z3)) / (8 * cellsize)
slope = atan(sqrt((dz/dx)^2 + (dz/dy)^2)) * 180 / PI
aspect = 180/PI * atan2(dz/dy, -dz/dx)   # 再按北为0°顺时针归一化

Horn算法的优点是平滑性好、对随机噪声不敏感，适合中低分辨率、较平滑的DEM；缺点是会削平陡坎和山脊的尖锐特征，在陡崖附近坡度偏小。

Zevenbergen-Thorne算法：二阶差分与曲率

Zevenbergen-Thorne（Z-T）算法用3×3窗口拟合一个二次曲面 z = ax² + by² + cxy + dx + ey + f，通过最小二乘或差分求得各系数，从而同时得到坡度、坡向和曲率。其核心差分形式为：

D = ((z4 + z6)/2 - z5) / cellsize^2      # 东西二阶差分
E = ((z2 + z8)/2 - z5) / cellsize^2      # 南北二阶差分
F = (-z1 + z3 + z7 - z9) / (4 * cellsize^2)  # 交叉项
G = (-z4 + z6) / (2 * cellsize)          # 东西一阶
H = (z2 - z8) / (2 * cellsize)           # 南北一阶
slope = atan(sqrt(G^2 + H^2))
剖面曲率 ≈ -2*(D*G^2 + E*H^2 + F*G*H) / (G^2 + H^2)
平面曲率 ≈  2*(D*H^2 + E*G^2 - F*G*H) / (G^2 + H^2)

Z-T算法对地形起伏更敏感，能保留山脊、沟谷的弯曲信息，是计算曲率的常用方法；但它对DEM噪声也更敏感，在平坦区容易产生虚假的曲率波动。实际工作中常先用Horn算坡度坡向，再用Z-T算曲率，或对DEM先做轻度平滑。

在GIS中的实现与结果解读

以QGIS为例，坡度、坡向可通过“栅格 → 地形分析 → 坡度/坡向”工具生成，算法下拉框中可选Horn或Zevenbergen-Thorne；曲率则使用“地形分析 → 曲率”工具，输出剖面曲率与平面曲率。在ArcGIS Pro中对应Spatial Analyst的Slope、Aspect、Curvature工具，Slope工具的参数设置里可指定算法。操作时需注意：DEM的坐标单位与高程单位要一致（如均为米），否则坡度会被错误缩放；投影坐标系下计算比地理坐标系更可靠，因为经纬度网格的像元实际尺寸随纬度变化。

解读结果时，坡度图应结合直方图判断流域整体陡缓：若大部分像元集中在0°～15°，说明以缓坡为主；若出现大量>35°像元，需检查是否为陡崖或DEM噪声。坡向图常用分类色环显示，北向坡（0°/360°附近）与南向坡（180°附近）在光照和植被上差异明显。曲率图中正值表示凸起（山脊、水流发散），负值表示凹陷（沟谷、水流汇聚），接近0为平直坡面。判读时应把曲率与坡度、坡向叠加，避免孤立看单一图层。

案例：某山地流域的坡度分布与坡向格局

假设某山地流域DEM分辨率为10 m，投影为UTM，高程范围约600～2100 m。用Horn算法计算坡度后，统计得到：0°～5°约占8%，5°～15°约占27%，15°～25°约占34%，25°～35°约占21%，>35°约占10%。这一分布说明流域以中坡为主，陡坡集中在山脊与河谷两侧，符合山地流域的典型特征。坡向统计显示南向坡（135°～225°）占比偏高，北向坡偏少，结合区域气候可推断南坡日照强、蒸发大，植被覆盖可能较稀疏。

进一步用Z-T算法计算剖面曲率，发现河谷底部剖面曲率为负（凹形，流速由陡转缓），山脊附近为正（凸形，流速加快），这与野外观察的冲沟发育位置一致。若把坡度>25°且平面曲率为负的区域叠加，可快速圈定汇水集中、侵蚀风险较高的坡面，为后续径流路径判读提供候选区。需要提醒的是，以上数值为教学示例的合理假设，实际项目应以真实DEM统计为准，并检查边缘像元、洼地和NoData对统计的干扰。