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布朗运动与伊藤引理系统课程

共计 30 章节
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01
课程导入
学习目标 · 课程结构 · 布朗运动与伊藤引理在金融数学和随机分…
课程导入学习目标
02
概率论基础
概率空间 · 随机变量 · 期望
概率论基础概率空间
03
随机过程初步
随机过程的定义 · 样本路径 · 有限维分布
随机过程初步随机过程的定义
04
布朗运动的定义
标准布朗运动的数学定义 · 基本性质（连续性 · 独立增量
布朗运动的定义标准布朗运动的数…
05
布朗运动的构造与存在性
利用随机游走极限 · Kolmogorov扩展定理等构造布… · 理解其存在性
布朗运动的构造利用随机游走极限
06
布朗运动的路径性质
几乎处处不可微 · 无限变差 · 二次变差及其在随机分析中的意义
布朗运动的路径性…几乎处处不可微
07
马尔可夫性与鞅性质
布朗运动的马尔可夫性 · 强马尔可夫性 · 鞅性质及停时定理
马尔可夫性鞅性质
08
布朗运动的高维推广
多维布朗运动 · 相关结构 · 协方差矩阵及高维路径性质
布朗运动的高维推…多维布朗运动
09
布朗运动的变形
带漂移的布朗运动 · 几何布朗运动 · 反射布朗运动等常见变体
布朗运动的变形带漂移的布朗运动
10
随机积分的动机
从黎曼积分到伊藤积分的必要性 · 处理不可微路径的挑战
随机积分的动机从黎曼积分到伊藤…
11
伊藤积分的定义
简单过程逼近 · 伊藤积分的构造 · 基本性质（线性
伊藤积分的定义简单过程逼近
12
伊藤积分的计算
基本计算技巧 · 伊藤等距 · 随机积分的矩与协方差
伊藤积分的计算基本计算技巧
13
伊藤引理（一维）
一维伊藤引理的陈述 · 证明思路 · 直观解释及与泰勒展开的对比
伊藤引理一维
14
伊藤引理（多维）
多维伊藤引理 · 交叉变差项 · 协方差项的处理
伊藤引理多维
15
伊藤引理的应用
计算几何布朗运动的解 · 指数鞅 · 随机指数等经典案例
伊藤引理的应用计算几何布朗运动…
16
随机微分方程（SDE）入门
SDE的定义 · 解的概念 · 强解与弱解的区别
SDE随机微分方程
17
线性SDE的求解
线性系数SDE的显式解 · Ornstein-Uhlenbeck… · 几何布朗运动
SDE线性
18
一般SDE的存在唯一性
Lipschitz条件 · 线性增长条件 · Picard迭代证明思路
SDE一般
19
伊藤公式与Feynman-Kac公式
伊藤公式在偏微分方程中的应用 · Feynman-Kac公式的推导与使…
Feynman-Kac伊藤公式
20
鞅表示定理与Girsanov定理
鞅表示定理 · 测度变换 · Girsanov定理及其在金融中的应…
Girsanov鞅表示定理
21
数值模拟方法
布朗路径模拟 · Euler-Maruyama方法 · Milstein方法及误差分析
数值模拟方法布朗路径模拟
22
金融应用
Black-Scholes模型推导 · 期权定价 · Delta对冲中的伊藤引理
金融应用Black-Schole…
23
利率模型
Vasicek模型 · CIR模型 · HJM框架中的随机分析工具
利率模型Vasicek
24
随机控制与动态规划
随机最优控制中的伊藤公式 · Hamilton-Jacobi-Be…
随机控制动态规划
25
跳跃扩散过程
泊松过程 · 复合泊松过程 · 跳跃扩散的伊藤公式（Ito-Levy…
跳跃扩散过程泊松过程
26
随机分析中的常见误区
伊藤积分与Stratonovich积… · 链式法则失效 · 变差计算错误
随机分析常见误区
27
案例实战
使用Python模拟布朗运动并验证二… · 伊藤引理数值检验
案例实战Python
28
案例实战
求解并模拟几何布朗运动 · 用于期权蒙特卡洛定价
案例实战求解并模拟几何布…
29
综合提升
从布朗运动到随机分析前沿（随机偏微分… · 粗糙路径理论简介）
综合提升从布朗运动到随机…
30
课程总结与进阶路径
核心知识回顾 · 常见考点 · 推荐教材与后续学习方向
课程总结进阶路径